0,公比01,则数列为递减数列;公比q=1,数列为常数列;公比q<0,数列为摆动数列.公比不等于零是一大特点.(2)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,并且等于首末两项之积.特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=a2中.(3)若m,n,p,k∈N*,且m+n=p+k,则___________,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=2p时,有___________.am·an=ap·akam·an=a2p思考感悟1.等比数列中某项或公比可以为0吗?提示:等比数列中任何一项或其公比都不能为0,否则an+1an是无意义的.2.x,y存在等比中项,则x,y满足什么条件?提示:x,y必须满足同号.1.(教材习题改编)b2=ac是a,b,c成等比数列的()A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B课前热身2.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为()A.2B.3C.4D.8答案:A3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9答案:B4.在等比数列{an}中,a1=1,a4=18,则该数列的前10项和为________.答案:2-1295.在等比数列{an}中a7·a11=6,a4+a14=5,则a20a10等于________.答案:32或23考点探究·挑战高考考点突破等比数列基本量的计算在等比数列{an}的通项公式和前n项和公式中共有五个量:a1,q,n,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程组求出另外两个量.参考教材习题3.5的第1题.(1)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a25,a2=1,求a1和公比.(2)已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=203,求{an}的通项公式和S10.例1【思路分析】(1)由a3·a9=a26代入可求.(2)由a2=a3q,a4=a3·q代入可求.【解】(1)设{an}的公比为q>0 a3·a9=a26,∴a26=2a25,∴(a5·q)2=2a25,∴q=2a1=a2q=12=22.(2)设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q,所以2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q1=13,a1=18.所以an=18×(13)n-1=183n-1=2×33-n.S10=18×1-13101-13=27-137,当q=3时,a1=29.∴an=29×3n-1=2×3n-3,∴S10=29×1-3101-3=38-19【名师点评】解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解.等比数列的判定或证明(1)定义法:an+1an=q或anan-1=q(n≥2)(q≠0)⇔{an}是公比为q的等比数列.(2)等比中项法:a2n=an-1·an+1(n≥2,an-1·an+1≠0)⇔{an}是等比数列.参考教材例3,习题3.4第8题.已知数列{an}满足a1=12,a2=32,an+an+1=2an+2,n∈N*,令bn=an+1-an,证明{bn}是等比数列,并求bn.例2【思路分析】当n≥2时,an+1=an-1+an2代入bn=an+1-an中,推导出bn与bn-1的关系.【证明】b1=a2-...
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