第24课等差数列及其前n项和普查讲24等差数列及其前n项和1.等差数列中基本量的求解(1)(2017全国Ⅰ,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为(C)A.1B.2C.4D.8解析:由题意知,a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24,即2a1＋7d＝24；S6＝6a1＋6×52d＝48,即2a1＋5d＝16.联立,得2a1＋7d＝24，①2a1＋5d＝16.②①－②,得2d＝8,∴d＝4.(2)(2019改编,5分)已知{an}为等差数列,且a1949＝2019,a2019＝1949,则a3968＝0.解析:(法一)设公差为d,则a1＋1948d＝2019，a1＋2018d＝1949，解得a1＝3967，d＝－1.∴a3968＝a1＋3967d＝3967＋3967×(－1)＝0.(法二)由a1949＝2019,a2019＝1949,得d＝2019－19491949－2019＝－1,∴a3968＝a2019＋(3968－2019)d＝1949＋1949×(－1)＝0.2.等差数列中的单调性问题(3)(经典题,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列；p2:数列{nan}是递增数列；p3:数列ann是递增数列；p4:数列{an＋3nd}是递增数列.其中的真命题为(D)A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4解析: an＝a1＋(n－1)d,d＞0,∴an－an－1＝d＞0,命题p1正确；设an＝3n－12,显然{an}是递增数列,但是nan＝3n2－12n,{nan}并不是递增数列,故命题p2不正确；设an＝n＋1,显然{an}是递增数列,但ann＝1＋1n单调递减,∴ann是递减数列,故p3不正确；设bn＝an＋3nd,则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0,∴数列{an＋3nd}是递增数列,命题p4正确.综上,真命题为p1,p4.3.等差数列的证明与判定技巧a.定义法证明等差数列(4)(2019改编,6分)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2),a1＝12.求证:1Sn是等差数列.答案:见证明过程证明:(法一)由an＋2SnSn－1＝0,得SnSn－1＝－12an.(2分)∴1Sn－1Sn－1＝Sn－1－SnSnSn－1＝－an－12an＝2(n≥2),(5分)故1Sn是等差数列.(6分)(法二)当n≥2时,由an＋2SnSn－1＝0,得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.(2分) a1＝12,an＋2SnSn－1＝0,∴Sn≠0,∴两边同除以－SnSn－1,得1Sn－1Sn－1＝2,故1Sn是等差数列.(6分)b.等差中项法证明等差数列(5)(2018大同模拟,12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,a2＝6,a3＝11,且(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B,n＝1,2,3,⋯,其中A,B为常数.(Ⅰ)求A,B的值；答案:A＝－20,B＝－8解:由a1＝1,a2＝6,a3＝11,得S1＝1,S2＝7,S3＝18.当n＝1时,－3S2－7S1＝A＋B,即A＋B＝－28；①当n＝2时,2S3－12S2＝2A＋B,即2A＋B＝－48.②(2分)联立①②,得A＋B＝－28，2A＋B＝－48，解得A＝－20，B＝－8.(4分)(Ⅱ)证明:数列{an}为等差数列.答案:见证明过程证明:由(Ⅰ)知,(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝－20n－8,即5n(Sn＋1－Sn)－8Sn＋1－2Sn＝－20n－8,即5nan＋1－8Sn＋1－2Sn＝－20n－8.①又5(n＋1)an＋2－8Sn＋2－2Sn＋1＝－20(n＋1)－8,②②－①,得5(n＋1)an＋2－5nan＋1－8an＋2－2an＋1＝－20,即(5n－3)an＋2－(5n＋2)an＋1＝－20.③又(5n＋2)an＋3－(5n＋7)an＋2＝－20,④(8分)④－③,得(5n＋2)(an＋3－2an＋2＋an＋1)＝0,即an＋3－2an＋2＋an＋1＝0,即an＋3＋an＋1＝2an＋2.又a1＋a3＝2a2,所以数列{an}为等差数列.(12分)4.等差数列中的设项技巧(6)(经典题,8分)解决下列问题.(Ⅰ)三个数成等差数列,它们的和为21,平方和为155,求这三个数；答案:5,7,9或9,7,5解:设这三个数为a－d,a,a＋d,根据题意,有a－d＋a＋a＋d＝21，（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝155，(2分)解得a＝7，d＝2或a＝7，d＝－2.∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(4分)(Ⅱ)已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.答案:－2,4,10,16或16,10,4,－2解:设这四个数为a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,根据题意,有a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝28，（a－d）（a＋d）＝40，(6分)解得a＝7，d＝3或a＝7，d＝－3.∴这四个数为－2,4,10,16或16,10,4,－2.(8分)5.等差数列的性质及其应用(7)(经典题,5分)在等差数列{an}中,已知a4＋a8＝16,则该数列的前11项和S11＝(B)A.58B.88C.143D.176解析:S11＝11（a1＋a11）2＝11（a4＋a8）2＝88,故选B.(8)(2019改编,5分)若{an}为公差不为0的等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有①③④⑤⑥⑦.(填序号)①{an＋an＋1}②{a2n}③{an＋1－an}④{2an}⑤{2a...
