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全国高2020届高2017级高三2019年12月高三数学二轮复习资料第24课等差数列及其前n项和VIP免费

全国高2020届高2017级高三2019年12月高三数学二轮复习资料第24课等差数列及其前n项和_第1页
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第24课等差数列及其前n项和普查讲24等差数列及其前n项和1.等差数列中基本量的求解(1)(2017全国Ⅰ,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(C)A.1B.2C.4D.8解析:由题意知,a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,即2a1+7d=24;S6=6a1+6×52d=48,即2a1+5d=16.联立,得2a1+7d=24,①2a1+5d=16.②①-②,得2d=8,∴d=4.(2)(2019改编,5分)已知{an}为等差数列,且a1949=2019,a2019=1949,则a3968=0.解析:(法一)设公差为d,则a1+1948d=2019,a1+2018d=1949,解得a1=3967,d=-1.∴a3968=a1+3967d=3967+3967×(-1)=0.(法二)由a1949=2019,a2019=1949,得d=2019-19491949-2019=-1,∴a3968=a2019+(3968-2019)d=1949+1949×(-1)=0.2.等差数列中的单调性问题(3)(经典题,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为(D)A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4解析: an=a1+(n-1)d,d>0,∴an-an-1=d>0,命题p1正确;设an=3n-12,显然{an}是递增数列,但是nan=3n2-12n,{nan}并不是递增数列,故命题p2不正确;设an=n+1,显然{an}是递增数列,但ann=1+1n单调递减,∴ann是递减数列,故p3不正确;设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0,∴数列{an+3nd}是递增数列,命题p4正确.综上,真命题为p1,p4.3.等差数列的证明与判定技巧a.定义法证明等差数列(4)(2019改编,6分)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.求证:1Sn是等差数列.答案:见证明过程证明:(法一)由an+2SnSn-1=0,得SnSn-1=-12an.(2分)∴1Sn-1Sn-1=Sn-1-SnSnSn-1=-an-12an=2(n≥2),(5分)故1Sn是等差数列.(6分)(法二)当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1.(2分) a1=12,an+2SnSn-1=0,∴Sn≠0,∴两边同除以-SnSn-1,得1Sn-1Sn-1=2,故1Sn是等差数列.(6分)b.等差中项法证明等差数列(5)(2018大同模拟,12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3,⋯,其中A,B为常数.(Ⅰ)求A,B的值;答案:A=-20,B=-8解:由a1=1,a2=6,a3=11,得S1=1,S2=7,S3=18.当n=1时,-3S2-7S1=A+B,即A+B=-28;①当n=2时,2S3-12S2=2A+B,即2A+B=-48.②(2分)联立①②,得A+B=-28,2A+B=-48,解得A=-20,B=-8.(4分)(Ⅱ)证明:数列{an}为等差数列.答案:见证明过程证明:由(Ⅰ)知,(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,即5n(Sn+1-Sn)-8Sn+1-2Sn=-20n-8,即5nan+1-8Sn+1-2Sn=-20n-8.①又5(n+1)an+2-8Sn+2-2Sn+1=-20(n+1)-8,②②-①,得5(n+1)an+2-5nan+1-8an+2-2an+1=-20,即(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=-20.③又(5n+2)an+3-(5n+7)an+2=-20,④(8分)④-③,得(5n+2)(an+3-2an+2+an+1)=0,即an+3-2an+2+an+1=0,即an+3+an+1=2an+2.又a1+a3=2a2,所以数列{an}为等差数列.(12分)4.等差数列中的设项技巧(6)(经典题,8分)解决下列问题.(Ⅰ)三个数成等差数列,它们的和为21,平方和为155,求这三个数;答案:5,7,9或9,7,5解:设这三个数为a-d,a,a+d,根据题意,有a-d+a+a+d=21,(a-d)2+a2+(a+d)2=155,(2分)解得a=7,d=2或a=7,d=-2.∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(4分)(Ⅱ)已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.答案:-2,4,10,16或16,10,4,-2解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,有a-3d+a-d+a+d+a+3d=28,(a-d)(a+d)=40,(6分)解得a=7,d=3或a=7,d=-3.∴这四个数为-2,4,10,16或16,10,4,-2.(8分)5.等差数列的性质及其应用(7)(经典题,5分)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11=(B)A.58B.88C.143D.176解析:S11=11(a1+a11)2=11(a4+a8)2=88,故选B.(8)(2019改编,5分)若{an}为公差不为0的等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有①③④⑤⑥⑦.(填序号)①{an+an+1}②{a2n}③{an+1-an}④{2an}⑤{2a...

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