第6课时双曲线第6课时双曲线考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．双曲线的定义(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：①与两个定点F1，F2的距离的__________等于常数2a.②2a___|F1F2|.(2)上述双曲线的焦点是_________，焦距是______.差的绝对值＜F1、F2|F1F2|思考感悟当2a＝|F1F2|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么？若2a＝0，动点的轨迹又是什么？提示：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形2．双曲线的标准方程及其简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质范围_______________________________对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：______________对称轴：x轴、y轴对称中心：坐标原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点坐标(±c,0)(0，±c)x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标原点标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质渐近线_____________y＝±abx离心率e＝_______，e∈__________，其中c＝a2＋b2(1，＋∞)y＝±baxca标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝_______；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c间的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)2a3.等轴双曲线___________等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝________，渐近线方程为___________.2实轴与虚轴y＝±x考点探究·挑战高考双曲线的定义考点突破考点突破在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．例例11已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【思路分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22<|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．【误区警示】容易用错双曲线的定义将点M的轨迹误认为是整条双曲线从而得出方程后没有限制x≥2.互动探究若将例1中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？解：由例题可知：当圆M与圆C1外切，与圆C2内切时，|MC1|－|MC2|＝22；当圆M与圆C1内切，与圆C2外切时，|MC2|－|MC1|＝22.∴||MC1|－|MC2||＝22＜|C1C2|＝8.∴点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线． a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1.双曲线的标准方程求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值．例例22【思路分析】利用待定系数法，双曲线定义和双曲线系等知识求双曲线标准方程．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；(3)过点(2，－2)且与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线．【解】(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)设双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，4λ＝a2，∴2a＝24λ＝6，∴λ＝94；当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6，∴λ＝－1.∴双曲线方程为x29－y2814＝1或y29－x24...
