第六节空间向量及其运算(理)重点难点重点：①空间向量的运算和运算律．②共面向量定理和空间向量基本定理．难点：①共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用②空间线面位置关系的向量表示知识归纳1．空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．方向且模的向量称为相等向量．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．长度为0的向量叫做零向量；模为的向量叫做单位向量；与向量a长度相等，方向的向量叫做a的相反向量．相同相等1相反(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算及运算律是平面向量对应运算的推广．2．共线向量与共面向量(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量(零向量与任何一个向量都是共线向量)．互相平行或重合(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的，空间三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OP→＝OA→＋ta，其中向量a叫做直线l的．(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x、y)，使p＝.xa＋yb方向向量3．空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，点P在平面ABC内⇔存在惟一实数组x、y、z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1.4．空间向量的数量积(1)设a、b是两个非零空间向量，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角．向量a、b的数量积a·b＝|a||b|cos
.(2)向量数量积的性质①a·e＝|a|cos(e是单位向量)；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a.(3)向量的数量积满足如下运算律：①(λ·a)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．(4)|a·b|≤|a|·|b|.5．设i，j，k是单位正交基底，O为空间直角坐标系的原点，i、j、k为x轴、y轴、z轴上的基向量，则对于空间任一点A，对应一个向量OA→，于是存在惟一的有序实数组x、y、z，使OA→＝xi＋yj＋zk，则点A的坐标为(x，y，z)．(1)向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；λa＝(λa1，λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)或a1b1＝a2b2＝a3b3(b1，b2，b3均不为0)．a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；(2)夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos＝a·b|a|·|b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.在空间直角坐标系中，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.误区警示1．零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免因对零向量的忽视致误．2．空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合．3．当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面内．4．特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定．(2)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0，因为其中cosθ有可能为0，即两向量垂直时a·b＝0.(3)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，在向量数量积中a·b＝b·c(b≠0)并不一定有a＝c.(...
