曲边梯形的面积VIP专享VIP免费

微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成的折线曲线？4.5.1曲边梯形的面积直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？xyO1方案1方案2方案3为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲”。y=f(x)baxyOA1A1A1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程求yx2所围成的曲边梯形图形（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21（2）以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）作和])1n(210[n1n1)n1-i(n1)n1-if(SSSSS22223n1i2n1in1iin21（4）逼近。面积为，即所求曲边三角形的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S31)n12)(n11(61)12n(n)1n(61n1])1n(210[n1)n(0x322223分割以曲代直作和逼近当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)x△来近似表示小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21表示了曲边梯形面积的近似值演示总结求解过程y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2if(i)12f(1)f(2)f(i)xi•在[a,b]中任意插入n1个分点．•得n个小区间：[xi1,xi](i=1,2,···,n)．•把曲边梯形分成n个窄曲边梯形．•任取i[xi1，xi]，以f(i)xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积．•区间[xi1,xi]的长度xixixi1．•曲边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(．•曲边梯形的面积近似为：A．niiixf1)(y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2if(i)12f(1)f(2)f(i)xi•在[a,b]中任意插入n1个分点．•得n个小区间：[xi1,xi](i=1,2,···,n)．•区间[xi1,xi]的长度xixixi1．10．在直角坐标平面内，由直线x＝1,x＝0,y＝0和抛物线y＝－x2＋2所围成的平面区域的面积是多少？解：把区间[0,1]n等分，每个小区间的长度Δx＝1n.每个小曲边梯形面积ΔSi＝f(xi)Δx＝[－(i－1n)2＋2]·1n(i＝1,2，…，n)．S＝i＝1nΔSi＝i＝1n[－(i－1n)2＋2]·1n＝1n3i＝1n[2n2－(i－1)2]＝1n3[2n2·n－12－22－…－(n－1)2]＝1n3[2n3－16n(n－1)(2n－1)]＝2－16(2－3n＋1n2)．Δx无限趋于0，即n→＋∞时，S无限趋于53，所以，由直线x＝1,x＝0,y＝0和抛物线y＝－x2＋2所围成的平面区域的面积是53.求．一物体的速度与时间的关系式为v＝12t2，则在从开始到1秒内运动的路程为________．解析：物体运动的路程即为y＝12x2，与x＝0，x＝1和y＝0围成的曲边梯形的面积，利用分割、近似代替、求和、取极限后可得曲边梯形的面积S＝16.7．若1N的力能使弹簧伸长1cm，现在要使弹簧伸长10cm，问需花费的功(单位：J)为(B)(A)0.05(B)0.5(C)0.25(D)1解析：设力f＝kx(k为比例系数)，当f＝1时，x＝0.01，可解得k＝100，则f＝100x，如图，弹簧伸长10cm所做的功即为图中阴影部分的面积．∴W＝12×0.1×10＝0.5(J)，故选B.小结（曲边梯形的面积求法）定义设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成...