平面向量与三角形的“心”三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．2．三角形各心的向量表示(1)O是△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0；(2)O是△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→；(3)O是△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|(或OA→2＝OB→2＝OC→2)；(4)O是△ABC的内心⇔OA→·(AB→|AB→|－AC→|AC→|)＝OB→·(BA→|BA→|－BC→|BC→|)＝OC→·(CA→|CA→|－CB→|CB→|)＝0.注意向量λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)题型一将平面向量与三角形外心结合考查例1若O为△ABC内一点，|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则O是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心【解析】由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.题型二将平面向量与三角形垂心结合考查例2点P是△ABC所在平面上一点，若PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】由PA→·PB→＝PB→·PC→，得PA→·PB→－PB→·PC→＝0，即PB→·(PA→－PC→)＝0，即PB→·CA→＝0，则PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D.【点评】本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．题型三将平面向量与三角形内心结合考查例3O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】因为AB→|AB→|是向量AB→的单位向量，设AB→与AC→方向上的单位向量分别为e1和e2，又OP→－OA→＝AP→，则原式可化为AP→＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故选B.题型四将平面向量与三角形重心结合考查例4点P是△ABC所在平面内任一点．G是△ABC的重心⇔PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)．【证明】 PG→＝PA→＋AG→＝PB→＋BG→＝PC→＋CG→，∴3PG→＝(AG→＋BG→＋CG→)＋(PA→＋PB→＋PC→)． 点G是△ABC的重心，∴GA→＋GB→＋GC→＝0.∴AG→＋BG→＋CG→＝0，即3PG→＝PA→＋PB→＋PC→.由此得PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)．反之亦然(证略)．题型五将平面向量与三角形四心结合考查例5已知向量OP1→，OP2→，OP3→满足条件OP1→＋OP2→＋OP3→＝0，|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．【证明】由已知条件可得OP1→＋OP2→＝－OP3→，两边平方，得OP1→·OP2→＝－12.同理OP2→·OP3→＝OP3→·OP1→＝－12.∴|P1P2→|＝|P2P3→|＝|P3P1→|＝3.从而△P1P2P3是正三角形．1．若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(OP→－OA→)·(AB→－AC→)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案D对点训练2．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心答案C解析由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|知，O是三角形的外心，排除答案A，B.由NA→＋NB→＋NC→＝0得出N必然为重心． PA→·PB→＝PB→·PC→，∴(PA→－PC→)·PB→＝0.∴CA→·PB→＝0，∴CA⊥PB，同理，AP⊥BC.∴P为△ABC的垂心，故选C.3．在△ABC中，若动点P满足CA→2＝CB→2－2AB→·CP→，则P点轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案A解析2AB→·CP→＝CB→2－CA→2＝(CB→－CA→)...
