【考纲下载】1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．第2讲等差数列及其性质1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示．(2)等差中项：在两个数a与b之间插入一个常数A，使a，A，b成等差数列，则把叫做a与b的等差中项，＝，即a＋b＝.(3)等差数列的通项公式：．同一个常数2公差AA2Aan＝a1＋(n－1)d(n∈N*)提示：通项公式an＝a1＋(n－1)d可以写成an＝dn＋(a1－d)，它是关于n的一次函数(d≠0时)或常函数(d＝0时)，它的图象是一条直线上点的横坐标为正整数的一群孤立的点，公差d是这条直线的斜率．2．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式：Sn＝＝.【思考】等差数列的前n项和Sn与函数的关系如何？(从d≠0与d＝0分别说明)答案：当d≠0时，Sn＝n2＋n，Sn是关于n的二次函数，它的图象是过原点的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立点；当d＝0时，Sn＝na1，它的图象是一条射线上横坐标为正整数的一群孤立点．3．等差数列的重要性质(1)若m＋n＝p＋q，则.(m，n，p，q∈N*)特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an.(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d推广为an＝am＋(n－m)d.(3)设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．am＋an＝ap＋aq提示：这些重要结论，在解答选择题和填空题时非常有用(可直接应用)，在做解答题时虽然不能作为公式和定理用，但至少可以当作解题的目标或方向，检验结果的正误时可直接套用，运用上述结论时要注意它成立的条件．1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5等于()A．3B．7C．10D．11解析：设公差为d，则.∴a1＝－2，d＝3，∴a5＝a1＋4d＝－2＋3×4＝10.答案：C2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()A．4B．5C．6D．7解析： a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.答案：C3．(2009·湖南)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63解析：S7＝＝＝49.答案：C4．(2009·山东)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析：设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案：131.等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；2．由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组求解．【例1】(2009·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求Sn.思维点拨：列方程组解a1和公差d.解：设{an}的公差为d，则即解得，或因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．变式1：等差数列的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d. S12＝84，S20＝460，∴解得∴Sn＝－15n＋n(n－1)×4＝2n2－17n.∴S28＝2×282－17×28＝1092.证明{an}为等差数列的方法：1．用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列．2．用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列．3．通项法：an为n的一次函数或常函数⇔{an}为等差数列．4．前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝⇔{an}为等差数列．【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式．思维点拨：(1)由an与Sn的关系先转化为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，然后利用定义证明(2)先求Sn，再求an.证明：(1) an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴＝2(n≥2)．由等差数列的定义知是以为首项，以2为公差的等差数列．(2)解：由(1)知＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－.又 a1＝，∴an＝利用等差数列的性质解题，关键是要敏锐地观察出题中各项的脚标间的数量关系．【例3】已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数...
