高中数学 第3章322用向量方法求空间中的角课件 新人教A版选修2-1 课件VIP免费

3．2.2用向量方法求空间中的角学习目标1.理解直线与平面所成角的概念．2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．课堂互动讲练知能优化训练3.2.1用向量方法求空间中的角课前自主学案课前自主学案温故夯基1．两条异面直线所成的角的范围是______．2．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的______所成的角，其范围是______．3．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是_______．4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线所成的角为____.射影[0，π]30°(0，π2](0，π2]知新益能1．异面直线所成角的求法设两异面直线所成角为θ，它们的方向向量分别为a、b，则cosθ＝________＝_______.2．直线与平面所成角的求法设直线l与平面α所成角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n.则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝_______.|a·b|a|·|b|||n·a||n||a||a·b||a||b|3．二面角的求法(1)设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的法向量分别为n1、n2，则|cosθ|＝|n1·n2|n1|·|n2||＝|n1·n2||n1|·|n2|.(2)二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角：在两个半平面内，各取一直线与棱垂直．当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向向量的夹角即为二面角的平面角．1．异面直线所成的角是否等于它们的方向向量所成的角？提示：不一定．若方向向量所成角小于等于90°,则相等；若方向向量所成角大于90°，则不相等．2．直线与平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？提示：不一定．问题探究课堂互动讲练求异面直线的夹角考点突破两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等．当两方向向量夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．例例11【思路点拨】建立坐标系→写出点的坐标→求出PA→与BC→的坐标→计算PA→与BC→的夹角．【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系． ∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0,0,23)．(2) PA→＝(2,0，－23)，BC→＝(－2，－3,0)，∴cos〈PA→，BC→〉＝2×－2＋0×－3＋－23×04×13＝－1313.∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为1313.求直线与平面所成的角利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB→；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n|·|AB→|.例例22【思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，2a)，C1(－32a，a2，2a)，法一：取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连结AM、MC1，有MC1→＝(－32a,0,0)，AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)．∴MC1→·AB→＝0，MC1→·AA1→＝0，∴MC1→⊥AB→，MC1→⊥AA1→，即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．由于AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，∴AC1→·AM→＝0＋a24＋2a2＝9a24，|AC1→|＝3a24＋a24＋2a2＝3a，|AM→|＝a24＋2a2＝32a，∴cos〈AC1→，AM→〉＝9a243a×3a2＝32.∴〈AC1→，AM→〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.法二：AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)，AC1→＝(－32a，a2，2a)．设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB→＝0且n·AA1→＝0.∴ax＝0且2ay＝0.∴x＝y＝0.故n＝...