“简单的线性规划”一节中几个值得商榷的问题文/李俭昌顾向忠现行高中新教材增添了“简单的线性规则”一节,这无疑将成为高中数学整个教学过程中一个新的亮点.通过对这一节的学习,可有力地帮助学生形成优良的学习品质,拉近数学学习与现实生活的距离,激发学生学习数学的兴趣.但笔者通过对这一节内容的教学,发现本节中有几个值得商榷的问题:问题1:目标函数的最值如何解释从目标函数的定义看,z=ax+by(一般a、b均不为零)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式.在如何解释当z=ax+by经过最优解这点时的最值上,课本例题中,均采用先作直线l:ax+by=0,然后平移至最优解达到最值.至于是最大值还是最小值,从课本P.61例3看,是“把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域中的点M(M是最优解),且与原点距离最大,此时z=600x+1000y取得大值.”从P.63例4看,“作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线……”这时z=x+y取最小值.这两个例题似乎给人以这样的感觉,直线到原点的距离最远,目标函数z=ax+by达到最大值;距离最近,目标函数取最小值.其实不然,直线到原点的距离最远,有时,目标函数z=ax+by,当z<0时,所取的却是最小值,反之亦然.x+y≥10,例如,线性约束条件y≤10,目标函数为z=x-2y,x-y≤3,可行域为:当直线z=x-2y过A点,直线到原点距离最小,但z=x-2y达最大值-1/2,而当直线z=x-2y过B点时,直线到原点距离最大,但z=x-2y达最小值-20.因此在这类问题的处理中,笔者认为,应将z=ax+by(b≠0)改写为y=-(a/b)x+(z/b),其中-a/b是斜率,为定值,而z/b是直线在y轴上的截距,故当直线到原点的距离最远时,|z/b|达最大;距离最近时,|z|/|b|取最小,所以,目标函数何时最值是与z的符号有关.而事实上,课本例题中“直线到原点距离最远,z达最大,到原点距离最近,z达最小”这句话的前提是z>0(此时|z/b|=z/|b|).问题2:如何进行近似运算近似运算在数学运算中很常见,一般有三种法则,即四舍五入,取整及进一法,那么在线性规划中该使用那种法则?教材P.62例3中有以下一段:解方程组5x+4y=300,得M点的坐标为x=360/29≈12.4,4x+9y=360,y=1000/29≈34.4.然而我们注意到其中的x=360/29=12.41379…,y=1000/29=34.48275…,按题目要求精确到0.1.如果四舍五入,则x=12.4,y=34.5;如果取整,则x=12.4,y=34.4;如果进一,则x=12.5,y=34.5.从教材所给结果看是采用取整运算法,那么取整运算法一定正确吗?教材在这里没有作任何说明.事实上,简单地采取取整法,显然不完全正确.在线性规划中近似运算至少遵循两个原则:①近似解应在可行域中;②使目标函数取最值.故教材所给的结果(12.4,34.4)是(12.4,34.4),(12.4,34.5),(12.5,34.4),(12.5,34.5)四个解中经过检验筛选所得.因而有许多资料也出现了近似运算的差错.同时又必须指出:如果将“精确0.1吨”理解为十分位整点,则本例题中(12.4,34.4)并不是最优解,例如(12.1,34.6)就更优.问题3:关于整点最优解的运算线性规划的实质是解决实际问题,而实际问题中的许多元素一般都是自然数.因而对整点问题的教学应占有较大的比重.教材对整点问题虽有涉及,但力度明显不够,处理方法欠妥.从P.83例4看,目标函数为z=x+y,它的非整点最优解为(18/5,39/5),这时z=x+y=57/5,由于题目中x、y是整数,因而z=x+y是整数,结合可行域可知,使x+y是整数之最小整数是12,即为x+y=12,这是一个关于x、y的不定方程,其中适合条件的x、y的解共有13组,(0,12),(1,11),(2,10),…,(12,0)这13组解中那些是整点最优解,应代回约束条件检验.但要注意到这几个整点中可能没有一个整点在可以域中,因此关于整点不定方程x+y=12,笔...