高三数学(师说)系列一轮复习 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换课件 理 新人教B版 课件VIP专享VIP免费

第二节两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换第二节两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材面面观1．两角和与差的正余弦公式：cos(α＋β)＝________；cos(α－β)＝________；sin(α＋β)＝________；sin(α－β)＝________.答案cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ2．两角和与差的正切公式：tan(α＋β)＝________；tan(α－β)＝________(α、β≠kπ＋π2，α－β≠kπ＋π2，k∈Z)．答案tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ3．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝________，sinφ＝________，tanφ＝________.φ的终边所在象限由________来确定，角φ称为辅助角．答案aa2＋b2ba2＋b2baa、b的符号考点串串讲1．两角和与差的三角公式需理解(1)理解运用公式时应注意的几个问题①诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β中有为π2的整数倍时，使用诱导公式更灵活、简便．②要真正明确两角和与两角差的三角函数的意义一般情况下，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ，cos(α＋β)≠cosα＋cosβ.只有在特殊情况下，才有可能sinα＋sinβ＝sin(α＋β)．③对于两角和与差公式的异同要进行对比与分析，便于理解、记忆和应用．(ⅰ)明确角、函数和排列顺序以及式中每一项的符号．(ⅱ)要牢记公式，并能熟练地进行左右两边的互相转化．(2)常见的角的代换有：α＝(α＋β)－βα＝β－(β－α)α＝12[(α＋β)＋(α－β)]α＝12[(β＋α)－(β－α)]角的代换实质是根据题意的需要把角看活，要在活字上作文章．(3)公式的逆向变换、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式用活显得更加重要，这是学好三角函数的基本功．如两角和的正切公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，就必须掌握如下的一些变换：tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan(α＋β)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋βtanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)－tanα－tanβ(4)引入辅助角的变换形如asinx＋bcosx(a、b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式．这里A＝a2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2，φ的终边所在象限由a和b确定．2．二倍角的正弦、余弦、正切(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2αtan2α＝2tanα1－tan2α公式的推导：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令α＝β即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式．从推导中可发现，二倍角公式是和角公式的特殊情况．(2)应注意的地方①对于“二倍角”的理解，不单纯是α与2α的关系，而应有更广泛的理解．如4α是2α的二倍角；3α是3α2的二倍角；α是α2的二倍角；α3是α6的二倍角等等．②当α＝kπ＋π2(k∈Z)时，tanα的值不存在，这时求tan2α的值可利用诱导公式．即tan2α＝tan2(kπ＋π2)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.③公式的逆向变换与有关变形1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2a1＋cosα＝2cos2α2b1－cosα＝2sin2α2ccos2α＝12(1＋cos2α)dsin2α＝12(1－cos2α)e上述公式中，b、c又称为升幂公式，d、e又称为降幂公式．(3)知识的延伸及扩展①三倍角公式sin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα②半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα③万能公式sinα＝2tanα21＋tan2α2cosα＝1－tan2α21＋tan2α2tanα＝2tanα21－tan2α2④和差化积公式sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2sinα－sinβ＝2cosα＋β2sinα－β2cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2cosα－cosβ＝－2sinα＋β2sinα－β2⑤积化和差公式sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]3．三角函数的求值、化简和证明(1)...