高考数学总复习 第五单元 第八节 正、余弦定理的应用举例课件VIP免费

第八节正、余弦定理的应用举例解斜三角形已知△ABC中，三个内角A，B，C，对应三边长分别为a，b，c.a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，求x的取值范围．分析要使三角形有两解，即角A有两解，由于B＝45°，所以A＞B，角A有满足条件的锐角和钝角两种情形．解根据正弦定理＝，∴x＝2sinA. 三角形有两解，而且45°＝B＜A，∴45°＜A＜135°，A≠90°，∴＜sinA＜1，∴2＜x＜2，x的取值范围为(2,2)．Axsin45sin222222规律总结在应用正弦定理和余弦定理解斜三角形时，有可能出现无解、一解、两解的情形．解的个数，需要依据三角形的性质进行判断．常用的三角形的性质有：大角对大边，三角形的构成条件等．变式训练1在△ABC中，A、B的对边分别是a、b，且A＝30°，a＝2，b＝4，那么满足条件的△ABC()A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定2【解析】由＝，得sinB＝＝＝.又b＞a，∴B＞A，故有两解．故选B.AasinBbsinaAbsin2230sin422【答案】B正、余弦定理在平面几何问题中的应用如图所示，A、B是圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，已知A(－3,4)，且点B在劣弧CA上，△AOB为正三角形．(1)求cos∠COA的值；(2)求|BC|的值．分析(1)用余弦函数的定义求解．(2)借助(1)的结论，用余弦定理解三角形可求边长．解(1)由题意可知：x＝－3，y＝4，且圆半径r＝|OA|＝5，根据三角函数的定义cos∠COA＝＝－.(2)在△BOC中，|BC|2＝|OB|2＋|OC|2－2|OB|·|OC|·cos∠BOC＝25＋25－50cos∠BOC＝50－50cos∠BOC.又 cos∠COA＝－，sin∠COA＝，∴cos∠BOC＝cos＝cos∠COA＋sin∠COA＝，∴|BC|2＝50－5(4－3)＝65－20，∴|BC|＝2－x5353543COA21231033433155规律总结解决平面几何中的长度、面积和角度问题，经常需要借助正余弦定理寻找解题途径，这是正余弦定理的重要应用之一．变式训练２已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．【解析】如图所示，连接BD，则有四边形ABCD的面积：S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC. A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sinA＝(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝20－16cosA.在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC， cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，cosA＝－.又 0°＜A＜180°，∴A＝120°，∴S＝16sin120°＝8.21212121213运用正、余弦定理解决测量问题如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西150°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？22分析根据已知条件判断△A1A2B2的性质．先计算A1A2与∠A1A2B2的大小，可以发现△A1A2B2是等边三角形．在△A1B2B1中，求B1B2的长度，最后求乙船的速度．解如图所示，连接A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，B1B22＝A1B12＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10.因此，乙船的速度为×60＝30(海里/小时)．226020222222220210规律总结解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角．通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．变式训练3(2010·福建高考·改编)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，...