§9.4空间向量及其运算(B)考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考9.4空间向量及其运算(B)双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．共线向量、共面向量、空间向量三定理辨析(1)共线向量基本定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是____________________.存在实数λ，使a＝λb推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP→＝OA→＋ta，其中向量a叫做直线l的方向向量，如图．线段AB的中点公式为(其中P是AB的中点)OP→＝12(OA→＋OB→)．(2)共面向量基本定理如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y使____________.推论1空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x，y，使MP→＝xMA→＋yMB→，或对空间任一定点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.①在平面MAB内，点P对应的实数对(x，y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表示式．p＝xa＋yb推论2对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足向量关系式OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)的四点P、A、B、C共面(当且仅当x＋y＋z＝1时)．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使_________________.p＝xa＋yb＋zc如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}，这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把_________叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，(x，y，z)叫做p对基底{a，b，c}下的坐标．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个序数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.{a，b，c}2．两向量的数量积(1)空间两个向量的夹角如图，已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．0≤〈a，b〉≤π，并且〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b.(3)已知空间两个向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________________．(4)已知向量AB→＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量(如图)．作点A在l上的射影A′，作点B在l上的射影B′，则A′B′→叫做向量AB→在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影，可以证明A′B′→＝|AB→|cos〈a，e〉＝a·e.|a||b|cos〈a，b〉(5)性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉．②a⊥b⇔a·b＝0.③|a|2＝a·a.④cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|.(6)运算律①(λa)·b＝_________．②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．λ(a·b)3．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i，j，k叫做__________，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．坐标向量(2)坐标在空间直角坐标系O－xyz中，对空间任一点A，对应一个向量OA→，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使________________，则数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标．OA→＝xi＋yj＋zk(3)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝_________________________；a－b＝______________________；λa＝______________________；a·b＝______________________；a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔______________________.(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面α或在平面α内两种情况．因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内．1．向量AB→∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？思考感悟2．在空间直角坐标系中：P(x，y，z)关于x轴、y轴、z轴的对称点如何？P(x，y，z)关于原点的对称点如何？P(x，y...
