第4课时数列的综合应用考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考第课时数列的综合应用温故夯基·面对高考4温故夯基·面对高考1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)________——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)_________——将所求结果还原到原实际问题中．建模还原2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1之间的递推关系，还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．思考感悟银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．考点探究·挑战高考等差、等比数列的综合问题考点突破考点突破(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．例例11(2011年河源质检)已知等差数列{an}的前四项的和A4＝60，第二项与第四项的和为34，等比数列{bn}的前四项的和B4＝120，第二项与第四项的和为90.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝an·bn，且{cn}的前n项和为Sn，求Sn.【思路分析】(1)由已知设出公差与公比联立方程求解．(2)利用错位相减法求解．【解】(1)由题意知：对数列{an}，a2＋a4＝34A4＝60⇒a2＋a4＝34①a1＋a3＝26②，∴①－②可得：2d＝8，∴d＝4，a1＝9，∴an＝4n＋5(n∈N*)．由题意知：对数列{bn}，B4＝120b2＋b4＝90，∴b1＋b3＝30③b2＋b4＝90④，④÷③可得：q＝3，则b1＝3，∴bn＝3×3n－1＝3n(n∈N*)．(2)由cn＝an·bn＝(4n＋5)·3n，∴Sn＝9·3＋13·32＋17·33＋…＋(4n＋5)·3n.①两边同乘以3得：3Sn＝9·32＋13·33＋17·34＋…＋(4n＋1)·3n＋(4n＋5)·3n＋1.②①－②得：－2Sn＝9·3＋4·32＋4·33＋…＋4·3n－(4n＋5)·3n＋1＝27＋4·321－3n－11－3－(4n＋5)·3n＋1＝27＋2·3n＋1－18－(4n＋5)·3n＋1，∴Sn＝12[(4n＋3)·3n＋1－9]．【名师点评】{an·bn}(一个是等比数列，一个是等差数列)求和是典型的错位相减法求和，解题时注意应用，同时注意公比q的情况．解： cn＝an＋bn，∴cn＝4n＋5＋3n，∴Sn＝4(1＋2＋3＋…＋n)＋5n＋(3＋32＋33＋…＋3n)＝4·nn＋12＋5n＋31－3n1－3＝2n2＋7n＋3n＋1－32＝12·3n＋1＋2n2＋7n－32.互动探究若将本例(2)中cn＝an·bn改为cn＝an＋bn，又如何求{cn}的前n项和Sn.数列的实际应用问题解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型．(比较典型的问题是存款的利息计算问题，通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算则与等比数列有关．)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式．(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？例例22【思路分析】写出各年度的投入与收入→求和得an和bn→解不等式bn>an【解】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－15)万元，…，第n年投入为800×(1－15)n－1万元，所以，n年内的总投入为an＝800＋800×(1－15)＋…＋800...
