立体几何综合题高考立体几何试题在选择题、填空题中侧重立体几何中的概念型、空间想象型、简单计算型问题,而解答题侧重立体几何中的逻辑推理型问题,主要考查线线关系、线面关系和面面关系,及空间角、面积与体积的计算,其解题方法一般都有两种或两种以上．空间点、线、面的位置关系如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝60°,AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥BACD,点M是棱BC的中点,DM＝22.高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明,一般以解答题的形式出现,试题难度中等,但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求,在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用．(1)求证:OM∥平面ABD;(2)求证:平面DOM⊥平面ABC;(3)求三棱锥BDOM的体积．【解】(1)证明:因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以OM∥AB.因为OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以OM∥平面BAD.(2)证明:因为在菱形ABCD中,OD⊥AC,所以在三棱锥BACD中,OD⊥AC.在菱形ABCD中,AB＝AD＝4,∠BAD＝60°,所以BD＝4.因为O为BD的中点,所以OD＝12BD＝2.因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以OM＝12AB＝2.因为OD2＋OM2＝8＝DM2,所以∠DOM＝90°,即OD⊥OM.因为AC⊂平面ABC,OM⊂平面ABC,AC∩OM＝O,所以OD⊥平面ABC.因为OD⊂平面DOM,所以平面DOM⊥平面ABC.(3)由(2)得,OD⊥平面BOM,所以OD是三棱锥DBOM的高．因为OD＝2,S△BOM＝12×OB×BM×sin60°＝12×2×2×32＝3,所以VBDOM＝VDBOM＝13S△BOM×OD＝13×3×2＝233.线面位置关系中的存在性问题如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱CC1⊥底面ABC,∠ACB＝90°,AB＝2,BC＝1,AA1＝3.(1)证明:A1C⊥平面AB1C1;(2)若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．空间线面位置关系重点研究了线面位置的证明与线面角的计算等问题,与这些问题有关的开放与探索型问题,在高考中也多次出现．按类型分,可以是条件追溯型,可以是存在探索型,也可以是方法类比探索型．【解】(1)证明:∵∠ACB＝90°,∴BC⊥AC.∵侧棱CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥BC.∵AC∩CC1＝C,∴BC⊥平面ACC1A1.∵A1C⊂平面ACC1A1,∴BC⊥A1C,∵BC∥B1C1,则B1C1⊥A1C.在Rt△ABC中,AB＝2,BC＝1,∴AC＝3.∵AA1＝3,∴四边形ACC1A1为正方形．∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1,∴A1C⊥平面AB1C1.(2)当点E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:如图,取BB1的中点F,连接EF、FD、DE,∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点,∴EF∥AB1.∵AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F,∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD,∴DE∥平面AB1C1.平面图形翻折问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称之为平面图形翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生了变化,有的没有发生变化,弄清它们是解决问题的关键．一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值,这是化解翻折问题难点的主要方法．如图,边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′,连接EF,A′B.(1)求证:A′D⊥EF;(2)求点A′到平面BEDF的距离．【解】(1)证明:在正方形ABCD中,有AD⊥AE,CD⊥CF,则A′D⊥A′E,A′D⊥A′F,又A′E∩A′F＝A′,∴A′D⊥平面A′EF,而EF⊂平面A′EF,∴A′D⊥EF.(2)∵正方形的边长为2,点E是AB的中点,点F是BC的中点,∴S四边形BEDF＝12S正方形ABCD＝12×22＝2.∵S△BEF＝12×1×1＝12,∴S△DEF＝2－12＝32,在Rt△BEF中,BE＝BF＝1,∴EF＝2,而A′E＝A′F＝1,∴A′E2＋A′F2＝EF2,∴S△A′EF＝12×1×1＝12.由(1)得A′D⊥平面A′EF,且A′D＝2,∴VDA′EF＝13S△A′EF×A′D＝13×12×2＝13.设点A′到平面BEDF的距离为h,则VA′DEF＝13S△DEF×h＝13·32·h＝13,∴h＝23,∴点A′到平面BEDF的距离为23.
