第6讲函数与方程1．函数的零点(1)方程f(x)＝0有⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有⇔函数y＝f(x)有零点．实根交点f(a)·f(b)<0(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是连续不断的，且有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．2．二分法(1)如果函数y＝f(x)在区间[m，n]上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做．f(m)·f(n)<0二分法(2)给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤如下：[m，n]f(m)·f(n)<0ε①确定区间，验证，给定精度；②求区间的中点；[m，n]x1③计算f(x1)：若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的；若f(m)·f(x1)<0，则令(此时零点x0(∈m，x1))；若f(x1)·f(n)<0，则令(此时零点x0(∈x1，n))．零点n＝x1m＝x12．lgx－＝0有解的区域是(1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0______∈，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()AA．(0,0.5)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)B．(0,1)，f(0.25)D．(0,0.5)，f(0.125))B1xA．(0,1]B．(1,10]C．(10,100]D．(100，＋∞)3．设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝.(－∞，－2)(6∪，＋∞)4．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是．25．如图3－6－1的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(填序号).图3－6－1①③考点1估算方程的解的范围例1：利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的()A．(0.6,1.0)B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2)D．(2.6,3.0)解题思路：判断函数f(x)＝2x－x2在各个区间两端点的符号．解析：由f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，故排除A；由f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，故排除B；由f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2的一个根位于下列区间(1.8,2.2)，故选C.估算方程的解的范围，通常用二分法按步骤去操作．【互动探究】1．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是．{a|a>1}解析：设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图像可知当0
1时，因为函数y＝ax(a>1)的图像过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a>1.考点2二分法的应用例2：已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明函数f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明函数f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过1.4解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，设x10，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点，又由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此至多一个根，从而函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(3)f(2)<0，f(3)>0，∴f(x)的零点x0在(2,3)上，取x1＝52， f52＝ln52－1<0，∴f52·f(3)<0，∴x0∈52，3.取x1＝114， f52＝ln114－12>0，【互动探究】2．已知f(x)的图像是连续不断的，有如下的x与f(x)的对应值表：则函数f(x)存在零点的区间是(2,3)，(4,5)∴f52·f114<0，∴x0∈114，52.而114－52＝14≤14，∴114，52即为符合条件的区间．考点3一元二次方程根的分布例3：是否存在这样的实数k，使得关于x的方程x2＋(2k－3)x－(3k－1)＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，请说明理由．解析：令f(x)＝x2＋(2k－3)x－(3k－1)，那么由条件得到2234333101302422331032002kkxxfkfkkk...
