知识梳理典例变式基础训练能力提升第29讲坐标系与极坐标知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.坐标系(1)平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ൜𝑥'=𝜆𝑥(𝜆>0)𝑦'=𝜇𝑦(𝜇>0)的作用下,点P(x,y)对应点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.(2)极坐标系在平面上取一个定点O,由O点发出的一条射线Ox,一个单位长度,一个单位角度及其正方向(通常取逆时针方向),合称为一个平面极坐标系.O点称为极点,Ox轴称为极轴,平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角θ来表示(如图所示),这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角,一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(3)极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面的关系式成立:൜𝑥=𝜌cos𝜃𝑦=𝜌sin𝜃或൝𝜌2=𝑥2+𝑦2tan𝜃=𝑦𝑥(𝑥≠0)上式对ρ<0也成立,这是就极坐标与直角坐标的互化公式.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(4)简单(常见)曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点半径为r的圆ρ=r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)半径为r的圆ρ=2rcosθ-𝜋2≤θ<𝜋2圆心为ቀr,𝜋2ቁ,半径为r的圆ρ=2rsinθ(0≤θ<π)知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理过极点倾斜角为α的直线θ=α(ρ∈R)和θ=π+α(ρ∈R)过点(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线ρcosθ=aቀ-π2<𝜃<π2ቁ过点ቀ𝑎,π2ቁ(a>0),与极轴平行的直线ρsinθ=α(0<θ<π)知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理2.参数方程(1)曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数൜𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡),并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(2)常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y-y0=tanα(x-x0)൜x=x0+t𝑐𝑜𝑠αy=y0+t𝑠𝑖𝑛α(t为参数)圆x2+y2=r2൜x=r𝑐𝑜𝑠θy=r𝑠𝑖𝑛θ(θ为参数)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)ቄx=a𝑐𝑜𝑠φy=b𝑠𝑖𝑛φ(φ为参数)(3)常见结论根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论:过定点M0的直线与圆锥曲线相交,交点为M1,M2,所对应的参数分别为t1,t2.①弦长l=|t1-t2|;②弦M1M2的中点⇒t1+t2=0;③|M0M1||M0M2|=|t1t2|.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一极坐标【例1—1】在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,由曲线C1:y2=x上的点(x,y)按坐标变换൝𝑥'=𝑥-12,𝑦'=ξ2𝑦得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)若射线θ=π3(ρ>0)和θ=π与曲线C2的交点分别为A,B,求|AB|.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1) ൝𝑥'=𝑥-12,𝑦'=ξ2𝑦,即ቐ𝑥=𝑥'+12,𝑦=ξ22𝑦',代入C1:y2=x得y'2=2x'+1即曲线C2的方程为y2=2x+1.由x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C2的极坐标方程为ρ2sin2θ=2ρcosθ+1,即ρ=11-cos𝜃.(2)将θ=π3(ρ>0)代入ρ=11-cos𝜃得ρ=2,即A2,π3,同理Bቀ12,πቁ,由余弦定理|AB|=ට22+14-2cosቀπ-π3ቁ=ξ212.【答案】(1)ρ=11-cos𝜃(2)ξ212知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例1—2】以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sinቀ𝜃-π6ቁ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)O为极点,A,B为圆上的两点,且∠AOB=π3,求|OA|+|OB|的最大值.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【答案】(1)x2+y2+2x-2ξ3=0(2)4ξ3【解析】(1) 圆C的极坐标方程为ρ=4sinቀ𝜃-π6ቁ,∴ρ2=4ρsinቀ𝜃-π6ቁ=4ρ൬ξ32sin𝜃-12cos𝜃൰,又 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴x2+y2+2x-2ξ3y=0.(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+π3.则|OA|+|OB|=4sinቀ𝜃-π6ቁ+4sinቀ𝜃+π6ቁ=4ξ3sinθ,∴θ=π2时,|OA|+|OB|取得最大值4ξ3.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)求曲线的极坐标方程的步骤①建立适当...
