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高考数学总复习 6.2均值不等式课件 文 新人教B版 课件VIP免费

高考数学总复习 6.2均值不等式课件 文 新人教B版 课件_第1页
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•最新考纲解读•1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理.•2.会用平均值定理求最大或最小值.•3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.•高考考查命题趋势•1.均值不等式是不等式的重要内容,也是历年高考的重点,且每年试题的形式新颖,常考常新.•2.估计在2011年高考中主要考查判断大小、求最值、求取值范围.三、利用均值不等式求最值的规律设x,y>0,由x+y≥2xy知:1.如果x,y是正数,且积xy=P,(P是定值)则x=y时,和x+y有最小值2P.2.如果x,y是正数,和x+y=S,(S是定值)则x=y时,积xy有最大值(S2)2.运用均值不等式求最值的三要素:一正二定三相等.四、常用不等式1.若a∈R,则a2≥0,|a|≥0;2.a2+b22≥(a+b2)2(a=b时取“=”);3.a2+b2+c2≥ab+bc+ac;4.若a>b>0,m>0,则ba0,则a+1a≥2;6.若a<0,则a+1a≤-2;7.若a≠0,则a+1a≥2;8.(a+b)2≥4ab(a=b时取“=”);9.ab≤a+b22(a=b时取“=”);10.a2+b2≥±2|ab|;11.21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a=b时取“=”).一、选择题1.若实数a、b满足a+b=2,则2a+2b的最小值为()A.8B.4C.22D.242[解析] 2a+2b≥22a+b=4,∴选B.[答案]B2.“a>b>0”是“abb>0得(a-b)2>0即abb>0,如a=-4,b=2.“a>b>0”是“ab0且x≠1时,lgx+1lgx≥2B.当x>0时,x+1x≥2C.当x≥2时,x+1x的最小值为2D.当02,∴C不对; 00,b>0且满足ab≥1+a+b,求a+b的最小值.[分析](1)由x<54知4x-5<0,所以首先要“调整”符号.又(4x-2)·14x-5不是常数,所以对4x-2要进行拆,凑项.(2)可将条件转化为只含a+b的不等式,再解关于“a+b”的不等式,求出其最小值.[解](1) x<54,∴5-4x>0.∴y=4x-2+14x-5=-(5-4x+15-4x)+3≤-2+3=1.当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,上式等号成立.故当x=1时,ymax=1.(2) a>0,b>0,∴a+b+1≤ab≤(a+b2)2.令t=a+b(t>0),得t+1≤t24,即t2-4t-4≥0,得t≥2+22( t>0),即a+b≥2+22,当且仅当a=b=1+2时,取“=”.故(a+b)min=2+22.•“”用均值不等式求函数的最值时必须同时具备一正,二定,三相等这三个条件,才能应用,否则会求出错误的结果.再者注意掌握“”凑(凑项,凑因子)的技巧,其目的是创造一个应用均值不等式的情境.思考探究1已知x>0,y>0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.解法二:由1x+9y=1,得(x-1)(y-9)=9(定值),又知x>1,y>9,所以x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2(x-1)(y-9)+10=29+10=16,当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时,(x+y)min=16.例2已知a、b、c∈R+,求证:a3bc+b3ac+c3ab≥a+b+c.[证明] a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,由三式相加得a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+a2c2.又 a2b2+b2c2≥2a2b4c2=2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,三式相加得a2b2+b2c2+a2c2≥a2bc+ab2c+abc2综上得a4+b4+c4≥a2bc+ab2c+abc2,所以a3bc+b3ca+c3ab≥a+b+c.•证明不等式时应根据求证式两端的结构,合理选择基本不等式,本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性.思考探究2a、b、c为互不相等的正数,且abc=1.求证:1a+1b+1c>a+b+c.[证明] abc=1且a、b、c为互不相等的正数,∴1a+1b+1c=bc+ac...

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