•最新考纲解读•1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理．•2．会用平均值定理求最大或最小值．•3．能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系．•高考考查命题趋势•1．均值不等式是不等式的重要内容，也是历年高考的重点，且每年试题的形式新颖，常考常新．•2．估计在2011年高考中主要考查判断大小、求最值、求取值范围.三、利用均值不等式求最值的规律设x，y>0，由x＋y≥2xy知：1．如果x，y是正数，且积xy＝P，(P是定值)则x＝y时，和x＋y有最小值2P.2．如果x，y是正数，和x＋y＝S，(S是定值)则x＝y时，积xy有最大值(S2)2.运用均值不等式求最值的三要素：一正二定三相等．四、常用不等式1．若a∈R，则a2≥0，|a|≥0；2.a2＋b22≥(a＋b2)2(a＝b时取“＝”)；3．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；4．若a>b>0，m>0，则ba
0，则a＋1a≥2；6．若a<0，则a＋1a≤－2；7．若a≠0，则a＋1a≥2；8．(a＋b)2≥4ab(a＝b时取“＝”)；9．ab≤a＋b22(a＝b时取“＝”)；10．a2＋b2≥±2|ab|；11.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＝b时取“＝”).一、选择题1．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()A．8B．4C．22D．242[解析] 2a＋2b≥22a＋b＝4，∴选B.[答案]B2．“a>b>0”是“abb>0得(a－b)2>0即abb>0，如a＝－4，b＝2.“a>b>0”是“ab0且x≠1时，lgx＋1lgx≥2B．当x>0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当02，∴C不对； 00，b>0且满足ab≥1＋a＋b，求a＋b的最小值．[分析](1)由x<54知4x－5<0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)·14x－5不是常数，所以对4x－2要进行拆，凑项．(2)可将条件转化为只含a＋b的不等式，再解关于“a＋b”的不等式，求出其最小值．[解](1) x<54，∴5－4x>0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，ymax＝1.(2) a>0，b>0，∴a＋b＋1≤ab≤(a＋b2)2.令t＝a＋b(t>0)，得t＋1≤t24，即t2－4t－4≥0，得t≥2＋22( t>0)，即a＋b≥2＋22，当且仅当a＝b＝1＋2时，取“＝”．故(a＋b)min＝2＋22.•“”用均值不等式求函数的最值时必须同时具备一正，二定，三相等这三个条件，才能应用，否则会求出错误的结果．再者注意掌握“”凑(凑项，凑因子)的技巧，其目的是创造一个应用均值不等式的情境．思考探究1已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解法二：由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，又知x>1，y>9，所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2(x－1)(y－9)＋10＝29＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.例2已知a、b、c∈R＋，求证：a3bc＋b3ac＋c3ab≥a＋b＋c.[证明] a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，由三式相加得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋a2c2.又 a2b2＋b2c2≥2a2b4c2＝2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，三式相加得a2b2＋b2c2＋a2c2≥a2bc＋ab2c＋abc2综上得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，所以a3bc＋b3ca＋c3ab≥a＋b＋c.•证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择基本不等式，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．思考探究2a、b、c为互不相等的正数，且abc＝1.求证：1a＋1b＋1c>a＋b＋c.[证明] abc＝1且a、b、c为互不相等的正数，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac...
