第1课时坐标系与简单曲线的极坐标方程考点探究•挑战高考第1课时坐标系与简单曲线的极坐标方程温故夯基•面对高考1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′_______________，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．温故夯基•面对高考(x′，y′)2．极坐标系在平面内取一个定点O，由O点引一条射线Ox，一个长度单位及角度单位(通常取弧度)及其_______(通常取_______方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．正方向逆时针思考感悟极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．3．极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：x＝________y＝_______，或ρ2＝________tanθ＝yxx≠0.顺便指出，上式对ρ<0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．ρsinθx2＋y2ρcosθ4．柱坐标系与球坐标系设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ、θ、z构成的_______________称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ＜2π，z为任意实数．由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标．因此，由平面上极坐标和直角坐标的变换公式容易得到：数组(ρ，θ，z)空间直角坐标与柱坐标的变换公式是__________.直角坐标与球坐标的变换公式是_____________x＝ρcosθy＝ρsinθz＝zx＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφ(1)平移变换：在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示成x＋h＝x′y＋k＝y′考点探究•挑战高考平面直角坐标系中的伸缩变换(2)伸缩变换：一般地，由kx＝x′y＝y′，k＞0所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点)．同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝12xy′＝13y后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．例例11【解】圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则x＝2x′y＝3y′，∴4x′2＋9y′2＝36，即x′29＋y′24＝1.∴曲线C在伸缩变换后得椭圆x′29＋y′24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．解析：设直线2x＋3y－1＝0上任一点的坐标为(x，y)，经变换后对应点的坐标为(x′，y′)，设坐标变换公式为x′＝kxy′＝hy.∴x＝1kx′y＝1hy′.变式训练1直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝0，则坐标变换公式是________．将其代入直线方程2x＋3y－1＝0得：2kx′＋3hy′－1＝0，将其与6x＋6y－1＝0比较得k＝13，h＝12.∴坐标变换公式为x′＝13xy′＝12y.答案：x′＝13xy′＝12y极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．(2010年高考江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．例例22【解】将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1...
