第7讲函数的奇偶性、周期性和对称性【学习目标】1．理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值．3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．【基础检测】1．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1【解析】由奇函数的定义可知y＝x3、y＝2sinx是奇函数，故选C.C2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x2－1x，则f(1)＝()A．－2B．2C．1D．0【解析】由题设f(1)＝f(－1)＝(－1)2－1－1＝2，故选B.B3．设函数f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3对称，则()A．g(x)＝f32－xB．g(x)＝f(3－x)C．g(x)＝f(－3－x)D．g(x)＝f(6－x)【解析】设点P(x，g(x))为函数y＝g(x)图象上任意一点，又点P(x，g(x))关于直线x＝3的对称点为P′(6－x，g(x))，因为函数f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3对称，所以点P′(6－x，g(x))在函数f(x)的图象上，因此f(6－x)＝g(x)，故选D.D4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1f（x），若f(1)＝－3，则f(f(21))＝________．【解析】由题设f(x＋4)＝1f（x＋2）＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(21)＝f(5×4＋1)＝f(1)＝－3，所以f(f(21))＝f(－3)＝f(－4＋1)＝f(1)＝－3.－3【知识要点】1．函数奇偶性的定义一般地，如果_______________________________：(1)都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的图象是关于________成________对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有__________；偶函数的图象是关于________成________对称图形，对定义域内的任意x的值，则必有__________________．对于函数f(x)的定义域内任意一个xf(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点中心f(0)＝0y轴轴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)3．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和积都是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中有最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．5．三个重要结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a
