高考数学总复习 第6讲 不等式的证明课件VIP免费

第6讲不等式的证明知识梳理1．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b＞0，那么a＋b2ab，当且仅当时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．≥a＝b2．三个正数的算术——几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么a＋b＋c33abc，当且仅当时，等号成立．即三个正数的算术平均数它们的几何平均数．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数它们的几何平均数，即a1＋a2＋…＋annna1a2…an，当且仅当时，等号成立．≥a＝b＝c不小于不小于≥a1＝a2＝…＝an3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(i＝1na2i)(i＝1nb2i)≥(i＝1naibi)2，当且仅当b1a1＝b2a2＝…＝bnan(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α、β共线时等号成立．②求商比较法由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明即可，这种方法称为求商比较法．4．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明即可，这种方法称为求差比较法．a－b>0ab>1(2)分析法从所要证明的结论入手向反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式的假设；第二步：从出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立；使它成立的充分条件相反条件和假设(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．(6)数学归纳法设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．放大或缩小诊断自测1．已知a>0，b>0，比较lg(1＋ab)、12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小．解12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝lg1＋a1＋b. (1＋a)(1＋b)＝1＋(a＋b)＋ab≥1＋2ab＋ab＝(1＋ab)2，∴1＋a1＋b≥1＋ab，∴lg(1＋ab)≤lg1＋a1＋b＝12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，即lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．2．(2010·江苏卷)已知实数a，b≥0，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当a0；∴a3＋b3≥ab(a2＋b2)．3．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求2a＋2b＋2c的最小值．解 (a＋b＋c)2a＋2b＋2c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]2a2＋2b2＋2c2≥a·2a＋b·2b＋c·2c2＝18.∴2a＋2b＋2c≥2.∴2a＋2b＋2c的最小值为2.考点一分析法证明不等式【例1】设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．证明(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c.即证abc＋bac＋cab≤1，即证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca.而abc＝ab·ac≤ab＋ac2，bac≤ab＋bc2，cab≤bc＋ac2.∴abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝33...