第6讲不等式的证明知识梳理1．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b＞0，那么a＋b2ab，当且仅当时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．≥a＝b2．三个正数的算术——几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么a＋b＋c33abc，当且仅当时，等号成立．即三个正数的算术平均数它们的几何平均数．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数它们的几何平均数，即a1＋a2＋…＋annna1a2…an，当且仅当时，等号成立．≥a＝b＝c不小于不小于≥a1＝a2＝…＝an3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(i＝1na2i)(i＝1nb2i)≥(i＝1naibi)2，当且仅当b1a1＝b2a2＝…＝bnan(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α、β共线时等号成立．②求商比较法由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明即可，这种方法称为求商比较法．4．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a0ab>1(2)分析法从所要证明的结论入手向反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式的假设
