第九节曲线与方程（理）曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做；这条曲线叫做．一、曲线的方程方程的曲线若曲线与方程的对应关系中只满足（2）条会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.二、求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．三、曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组，则两曲线无交点．无解1．设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲线是()A．长轴在y轴上的椭圆B．长轴在x轴上的椭圆C．实轴在y轴上的双曲线D．实轴在x轴上的双曲线解析：原方程可化为 k＞1，∴k2－1＞0，k＋1＞0，∴方程表示实轴在y轴上的双曲线．答案：C2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D3．已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析：由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．答案：D4．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足则点P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，由知x＋2y＝4.答案：x＋2y＝45．平面内与定点(－1,2)和直线3x＋4y－5＝0的距离相等的点的轨迹是________．解析： (－1,2)在直线3x＋4y－5＝0上，∴轨迹是过定点(1,2)且垂直于3x＋4y－5＝0的直线．答案：直线1．直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么只需把这种关系转化成含有数值的表达式，通过化简整理便可得到曲线的方程，这种求曲线方程的方法是直接法．2．用直接法求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，设出动点坐标；(2)列出等量关系；(3)用坐标条件化为方程f(x，y)＝0；(4)化简方程；(5)检验；(6)结论．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足的点，求点P的轨迹方程．设点P坐标直接翻译即得轨迹方程．【解】设P点的坐标为(x，y)，则由方程x2＋2y2＝4，得2y2＝4－x2，∴y＝±∴A、B两点的坐标分别为又∴即又直线l与椭圆交于两点，∴－2＜x＜2，∴点P的轨迹方程为1．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)．若，则动点C的轨迹方程为__________．解析： ∴y2＝8x.答案：y2＝8x,(2,),(,),22yyABBCABBCx�⊥又1．运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义．同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一．如图所示，一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线？利用两圆的位置关系—相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种曲线的定义.【解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R＋2，①当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R，②将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12＞|O1O2|，∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,...
