§7.4曲线与方程考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考7.4曲线与方程双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．曲线与方程的关系(1)“”“”曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是_______________．②以这个方程的解为坐标的点都是_______________.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．这个方程的解曲线上的点(2)用直接法求曲线方程的五个步骤①建立适当的直角坐标系，设M(x，y)为曲线上的任意一点；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用_____表示条件P(M)，列出方程F(x，y)＝0；④化方程F(x，y)＝0为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标点都是曲线上的点．坐标2．曲线的交点求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的________的问题．思考感悟1．怎样才能使曲线上的点集与方程的解集之间建立一一对应关系？实数解提示：视曲线为点集：曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标(x，y)所满足的方程，这样就可保证曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，两者之间就一一对应．2．求曲线方程与求轨迹有何不同？提示：若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚．课前热身1．(教材例1改编)“x20＋y20＝5”是“点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝25”上的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C答案：C2．下列各组方程中，表示同一曲线的一组方程是()A．y＝x与x＝y2B．y＝x与xy＝1C．|y|＝|x|与x2－y2＝0D．y＝lgx2与y＝2lgx3．动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是()A．2B．4C．8D．不存在答案：C4．曲线x2－ay2＝1经过点P(2，－3)，则a的值为________．答案：135．曲线y＝1－x2与曲线y＝|x|的交点个数是________．答案：2考点探究·挑战高考考点突破曲线与方程的关系判断曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转化和特值讨论，它们依据的是曲线的纯粹性和完备性．因此，处理“曲线与方程”的概念题，可采用等价转化法，也可采用特值法．如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确．那么，以下正确的命题是()A．曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)＝0B．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在C上C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F(x，y)＝0例例11【思路分析】从定义入手，结合定义中的两个条件判断．【解析】“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．这意味着一定有这样的点(x0，y0)，虽然F(x0，y0)＝0，但(x0，y0)∉C，即一定有不在曲线C上的点，其坐标满足F(x，y)＝0，因此只有D正确．【答案】D【领悟归纳】判断方程是否是曲线的方程，曲线是否是方程的曲线，必须检验两个条件，二者缺一不可．用直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法等把题意中的曲线用含x或y的方程表示．参考教材例2、例3、例4.求曲线方程已知A、B、D三点不在同一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，|AD→|＝2，AE→＝12(AB→＋AD→)，求E点的轨迹．例例22【思路分析】AD→用AE→和AB→表示，利用|AD→|＝2建立x，y的关系．【解】由AE→＝12(AB→＋AD→)可得，AD→＝2AE→－AB→，设E(x，y)，∴AE→＝(x＋2，y)，AB→＝(4,0)，∴AD→＝2(x＋2，y)－(4,0)＝(2x,2y)，又 |AD→|＝2，∴(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，又 A、B、D三点不共线，∴AB→与AD→不平行，∴y≠0，∴E点的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)，表示圆心在(0,0)，半径为1的圆除去(±1,0)．【误区警示】本题易忽略A、B、D三点不共线的条件，而认为是整个圆．互动探究在本例中，若AE→＝12(AB→－AD→)，其余条件不变，E点的轨迹会有什么变化？解：由AE→＝12(AB→－AD→)得－AD→＝2AE→－AB→而AD→＝－(2x,2y)|AD→|＝2，∴x2＋y2...
