高考数学第一轮复习考纲(三角函数的求值、化简与证明)课件17 文 课件VIP专享VIP免费

第6讲三角函数的求值、化简与证明1．三角公式中次数和角的关系(1)次降角____；次升角______．(2)常用的升次公式有：1＋sin2α＝_____________；1－sin2α＝_____________；1＋cos2α＝_________；1－cos2α＝________.升降(sinα＋cosα)2(sinα－cosα)22cos2α2sin2α＝(1＋cos2αcos2α2．三角公式的三大作用是(1)三角函数式的_______；(2)三角函数式的_______；(3)三角函数式的________．1.2sin2αcos2α·)BA．tanαB．tan2αC．1D.12化简求值证明CD2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan2β＝()A.16B．－16C.17D．－173．下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．2cos2π12－1C.1＋cos30°2D.tan22.5°1－tan222.5°4．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝_______.5.π2<θ<π，则化简12＋1212＋12cos2θ＝________.3sinθ2解析： π2<θ<π，12＋1212＋12cos2θ＝12＋12cos2θ＝12－12cosθ＝sin2θ2＝sinθ2.考点1三角函数式的求值问题例1：锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、解题思路：切化弦和边角统一都是基本方法．关于三角形中的三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分母均为a、b、c的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理．c，且tanB＝3aca2＋c2－b2.(1)求证：B＝60°；(2)求sin(B＋10°)[1－3tan(B－10°)]的值．解析：(1) cosB＝a2＋c2－b22ac，∴3aca2＋c2－b2＝32cosB，由tanB＝32cosB得sinBcosB＝32cosB，∴sinB＝32. 角B是锐角，∴B＝60°.(2)由(1)得，原式＝sin70°(1－3tan50°)＝sin70°1－3sin50°cos50°＝sin70°cos50°－3sin50°cos50°＝212cos50°－32sin50°sin70°cos50°＝2sin30°cos50°－cos30°sin50°sin70°cos50°＝－2sin20°sin70°cos50°＝－2sin20°cos20°cos50°＝－sin40°cos50°＝－cos50°cos50°＝－1.边角统一的定理有正弦定理、余弦定理、面积公式和射影定理等，熟练地使用这些定理是快速准确解决三角形中的三角函数问题的关键．【互动探究】1．已知sinπ6－α＝13，求cos2π3＋2α的值解： π6－α＋π3＋α＝π2，∴cos2π3＋2α＝2cos2π3＋α－1＝2sin2π6－α－1＝2×19－1＝－79.考点2三角函数式的证明与化简解题思路：首先要使角统一，本题需使用二倍角公式．例2：化简sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1sin2x.解析：原式＝sinx＋1－2sin2x2－1sinx－1＋2sin2x2＋1sin2x＝2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x24sinx2cosx2cosx＝cosx2－sinx2cosx2＋sinx2·sinx2cosx2cosx＝cos2x2－sin2x2sinx2cosx2·cosx＝cosx·sinx2cosx2·cosx＝tanx2.在使用升次公式的一个技巧为1＋sin2α＋cos2α＝(1＋cos2α)＋sin2α＝2cos2α＋2sinαcosα＝2cosα(cosα＋sinα).【互动探究】2．若tanx＝2，求2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx的值．解：原式＝cosx－sinxcosx＋sinx＝1－tanx1＋tanx＝1－21＋2＝1－22－1＝22－3.错源：三角函数中的二次函数问题，忽视了对自变量范围的研究例3：已知函数f(x)＝2sinxcosx＋5sinx＋cosx，x∈0，π2.(1)求sinx＋cosx的取值范围；(2)求函数f(x)的最小值．误解分析：设t＝sinx＋cosx，则t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx,2sinxcosx＝t2－1.则2sinxcosx＋5sinx＋cosx＝t2＋4t＝t＋4t.有些同学就会直接有基本不等式t＋4t≥2t·4t＝4求出最小值为4.正解：(1)sinx＋cosx＝222sinx＋22cosx＝2cosπ4sinx＋sinπ4cosx＝2sinx＋π4， x∈0，π2，∴x＋π4∈π4，3π4，∴2sinx＋π4∈[1，2]，∴sinx＋cosx的取值范围是[1，2]．(2)设t＝sinx＋cosx，则t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx,2sinxcosx＝t2－1.则2sinxcosx＋5sinx＋cosx＝t2＋4t＝t＋4t.设φ(t)＝t＋4t，由(1)知t∈[1，2]，∴φ′(t)＝1－4t2<0，即函数φ(t)在区间[1，2]上是减函数，其...