§9.5空间角(A、B)考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考9.5空间角(A、B)双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．异面直线所成的角已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把_______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．斜线和平面所成的角(1)斜线与斜线在平面的_______所成的角叫斜线与平面所成的角，其范围为[0°，90°]．a′与b′射影(2)直线与平面所成的角可转化为直线与直线在平面内的射影所成的角，也可用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2来计算或通过向量法求解．设平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，若直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|.(3)射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段______，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段______．(4)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角，且cosθ＝______________.相等都短cosθ1·cosθ23．二面角(1)定义：从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作__________的两条射线，这两条射线所成的角叫做________________．(3)二面角的平面角的作法：①定义法；②三垂线定理法；③作棱的垂面法；④向量法．两个半平面垂直于棱二面角的平面角思考感悟1．异面直线a，b的方向向量a，b的夹角〈a，b〉是异面直线所成的角吗？提示：不一定．当〈a，b〉∈(0，π2]时是异面直线所成的角；当〈a，b〉∈(π2，π)时，a与b所成的角为π－〈a，b〉．2．二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置有关吗？提示：如图，用两个垂直于棱的平面γ1，γ2去截一个二面角α－a－β，由等角定理知，所截得的两个角θ1和θ2相等，这说明二面角的平面角与二面角的棱上选的点的位置无关．3．用平面的法向量，如何求线面角、二面角的大小？提示：(1)线面角的求法：设n是平面α的法向量，AB→是直线l的方向向量，则直线l与平面α所成的角为arcsin|AB→·n||AB→|·|n|，如图(1)所示；(2)二面角的求法：①AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为〈AB→，CD→〉，如图(2)所示；②设n1，n2是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则〈n1，n2〉＝arccosn1·n2|n1|·|n2|就是二面角的平面角或其补角的大小，如图(3)所示．1．(教材例1改编)如图，AB与面α所成的角∠ABO＝45°，DC∩OD＝D，且DC⊂α，∠ODC＝45°，则异面直线AB与DC所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．90°答案：A课前热身答案：A2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝435，那么二面角A－BD－P的度数是()A．30°B．45°C．60°D．75°3．下列说法正确的是()A．若直线l1、l2和平面α所成的角相等，则l1∥l2B．若直线l1和l2平行，则l1、l2和平面α所成的角相等C．若直线l1和l2相交，则l1、l2和平面α所成的角必不相等D．若直线l1、l2和平面α所成的角不相等，则l1与l2也可平行答案：B4．等腰直角△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为________．答案：90°5．设正三棱锥VABC底边长为23，高为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________．答案：45°考点探究·挑战高考考点突破求异面直线所成的角求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成的角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊点的选取，选取特殊点时，要尽可能地使它与题设的所有相关条件和解题目标紧密地联系起来．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．求直线B1C与DE所成角的余弦值．例例11【思路分析】可连结A1D，在△A1DE中，求∠A1DE，也可建系，求cos〈CB1→，DE→〉．【解】法一：连结A1D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．连结A1E，由正方体ABCD－A1B1C1D1，可设其棱长为a，则A1D＝2...
