§2.2函数的单调性与最值第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做函数y＝f(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得.(3)对于任意x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数y＝|x|是R上的增函数.()1x×√×(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞).()(6)函数y＝的最大值为1.()1－x21＋x2××√AC43，1(－∞，1][2∪，＋∞)解析函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).题型一函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性.解析思维升华题型一函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性.解设－10)在x∈(－1,1)上的单调性.∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，又 a>0,∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数.解析思维升华题型一函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性.对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之.解析思维升华例1(2)求函数y＝的单调区间.解析思维升华例1(2)求函数y＝的单调区间.由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，解析思维升华例1(2)求函数y＝的单调区间.解析思维升华例1(2)求函数y＝的单调区间.解析思维升华复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数.跟踪训练1(1)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性.解设x1，x2是任意两个正数，且00，即f(x1)>f(x2)，跟踪训练1(1)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，则x<1或x>3.∴函数y＝(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞).又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数.(2)求函数y＝(x2－4x＋3)的单调区间.而函数y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).解析答案思维升华题型二利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()题型二利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞,4)上单调递增；当a≠0时，二次函...
