第四节平面向量应用举例考纲解读1．会用向量的方法解决简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．考向预测1．以向量为载体考查平面几何、三角函数、解析几何等问题是高考考查的热点与重点．2．题目多以解答题形式出现，此时注意两个问题，一个是数形结合思想、函数与方程思想的应用，另一个是实际问题，要考虑实际的背景及其意义．知识梳理1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的平行、垂直和距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在三角中的应用(1)以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等三角函数性质问题．(2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系．3．向量与解析几何直线与向量平行的条件：(1)设直线l的倾斜角为α，斜率为k，若向量a＝(a1，a2)平行于l，则可得k＝tanα＝____.(2)如果直线l的斜率k＝a2a1，则向量(a1，a2)一定与该直线____________a2a1平行．(3)设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l______，向量(－B，A)与l_______4．向量在物理学中的应用由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的_____相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中的数量积的一种体现.平行．垂直．加减基础自测1.(2012·烟台模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.79，73B.－73，79C.73，79D.－79，－73[答案]D[解析]不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，即3m＋2n＝－7①又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0②由①②解得m＝－79，n＝－73.2．已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形[答案]A[解析]a·b＝|AB→|·|AC→|cos
<0，即cos<0，所以角A为钝角．3．若向量OF1→＝(2,2)，OF2→＝(－2,3)分别表示两个力F1与F2，则|F1＋F2|为()A．2.5B．42C．22D．5[答案]D[解析]因为F1＋F2＝OF1→＋OF2→＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，所以|F1＋F2|＝5，故选D.4．某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则a＋b表示()A．向东南走32kmB．向东北走32kmC．向东南走33kmD．向东北走33km[答案]B[解析]要求a＋b，可利用向量和的三角形法则来求解．如图所示．作OA→＝a表示“向东走3km”，AB→＝b表示“向北走3km”，则OB→＝OA→＋AB→＝a＋b，OB→＝OA→＋AB→＝a＋b，|OB→|＝32＋32＝32(km)，又OA→与OB→的夹角为45°，所以a＋b表示向东北走32km.5．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为__________．[答案]x－3y＋5＝0[解析]设P(x，y)是所求直线上任一点，AP→＝(x＋2，y－1) AP→∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.6．设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的单位向量，且OA→＝4i＋2j，OB→＝3i＋4j，则三角形OAB的面积为________．[答案]5[解析]OA→＝4i＋2j＝(4,2)，OB→＝3i＋4j＝(3,4)，∴△OAB的面积为S＝12|OA→||OB→|·sin∠AOB＝12OA→2·OB→2－OA→·OB→2＝1220×25－12＋82＝5.7．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC.[解析]以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴BC→＝(－1,1)，AC→＝(1,1)，AC→·BC→＝1×(－1)＋1×1＝0.∴AC→⊥BC→，即AC⊥BC.向量在平面几何中的应用[例1]如图，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，点K和L分别是MN和PQ的中点．求证：KL→＝14AE→.[分析]本题涉及条件较多，故需确定多个封闭图形才能把已知与求证结合起来．[解析]由题意可得KL→＋LQ→＋QE→＋EA→＋AM→＋MK→＝0①KL→＋LP→＋PB→＋BM→＋M...
