高中数学 第2章252数列求和习题课课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

2．5.2数列求和习题课课堂互动讲练知能优化训练2.5.2数列求和习题课课堂互动讲练考点突破公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.【思路点拨】利用a1，a3，a9成等比数列，可求公差d，从而得出an.例例11【解】(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.分组法如果一个数列的每一项都是由几个独立的项组合而成，并且各独立项可组成等差或等比数列，则可利用其求和公式分别求和，从而得到原数列的和．求数列112，214，318，…，(n＋12n)，…的前n项和．例例22【思路点拨】数列{an}：an＝n＋12n可看作是由等差数列{n}与等比数列{12n}对应项求和得到的，因此，可拆分成两个数列：{n}，{12n}分别求和(用公式)，再将两和相加即得．【解】Sn＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋14＋18＋…＋12n)＝nn＋12＋1－12n.倒序相加法若所给数列{an}中与首、末项等距的两项之和相等，如何求此数列的前n项和呢？方法：把所给数列按下标从小到大的顺序书写和的等式，再按下标从大到小的顺序书写和的等式，再把这两个等式左、右两边相加即得数列的前n项和．此种方法通称为倒序相加法．例如：等差数列前n项和公式的推导方法．求和：1212＋102＋2222＋92＋3232＋82＋…＋102102＋12.例例33【思路点拨】由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1，故宜采用倒序相加法求和．【解】设S＝1212＋102＋2222＋92＋3232＋82＋…＋102102＋12，则S＝10212＋102＋9222＋92＋8232＋82＋…＋12102＋12，两式相加，得2S＝1＋1＋…＋110个＝10，所以S＝5.裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：①1nn＋k＝1k·(1n－1n＋k)；②若{an}为等差数列，公差为d，则1an·an＋1＝1d(1an－1an＋1)．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；例例44(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【思路点拨】由a3，a5＋a7的值可求a1，d，利用公式可得an，Sn.对于{bn}，利用裂项变换，便可求得Tn.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1a2n－1＝12n＋12－1＝14·1nn＋1＝14·(1n－1n＋1)，所以Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14·(1－1n＋1)＝n4n＋1.即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.错位相减法对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错位相减，使其转化为等比数列问题来解．(2010年高考课标全国卷改编)设数列{an}满足a1＝2，a4＝512.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.【思路点拨】利用公式求得an，再利用错位相减法求Sn.例例55【解】(1)因a1＝2，a4＝512，∴q＝4，∴an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．1．注意对以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项等距离的两项之和是个常数时才可以用．(2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相...