1.定义域的求法当函数是由解析式给出时，求函数的定义域，就是由函数的解析式中所有式子都有意义的自变量x组成的不等式(组)的解集；当函数是由具体问题给出时，则不仅要考虑使解析式有意义，还应考虑它的实际意义．2．求函数值域的常用方法观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等．3．函数的表示法函数的表示法：解析法、图象法和列表法．当一个函数在定义域的不同区间上具有不同的对应关系时，在不同的定义域区间上的函数解析式也不同，就要用分段函数来表示．分段函数是一个函数．[例1](1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)(1,4]D∪．(0,1)(2)若函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x＋1)＋1fx＋1的值域是()A．[12，3]B．[2，103]C．[52，103]D．[3，103][思路点拨](1)根据已知函数的定义域和所求函数，列出关于x的不等式求解．(2)由f(x)的值域得f(x＋1)的值域，再令t＝f(t)．转化为关于t的函数．[自主解答](1)因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2且x>0，x≠1，故x∈(0,1)．(2)因函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则y＝f(x＋1)的值域也是[12，3]，令t＝f(x＋1)，则F(x)的值域就是函数g(t)＝t＋1t(t∈[12，3])的值域，这个函数在[12，1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，检验端点值得值域为[2，103]．[答案](1)D(2)B1.存在反函数的条件是对于原函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立．2．求反函数的步骤：(1)反求x；(2)互换x、y；(3)注明反函数的定义域(原函数的值域)．[例2]若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝()A．e2x－1B．e2xC．e2x＋1D．e2x＋2[思路点拨]先求已知函数的反函数，再转化为f(x)．[自主解答]因为y＝f(x－1)的图象与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，所以y＝f(x－1)与y＝lnx＋1互为反函数．由y＝lnx＋1得x＝(ey－1)2＝e2y－2，于是f(x－1)＝e2(x－1)，从而f(x)＝e2x.[答案]B1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质，善于利用函数的性质来作图，要合理利用图象的三种变换．2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究．[例3]已知f(x)＝x＋1，x∈[－1，0x2＋1，x∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是()[思路点拨]首先作出f(x)的图象，再利用函数的图象变换进行验证．[自主解答]先作出f(x)的图象如右图．A对．f(x－1)的图象由f(x)图象向右平移一个单位而得，故A符合要求．B对．f(－x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故B符合要求．C对．f(|x|)的图象，在x≥0时与f(x)的图象重合．又因为f(|x|)是偶函数，则f(|x|)图象关于y轴对称，故C符合要求．D错．依题意|f(x)|与f(x)的图象应重合，显然D不符合要求．[答案]D(1)函数的奇偶性：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．(2)函数的单调性：一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．[例4](1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2[思路点拨](1)题利用函数的周期性找f(3)、f(4)与f(1)、f(2)的关系，(2)题借助数形结合求解．[自主解答](1)由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.∴f(3)－f(4)＝－1(2)由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝2πT＝π6，又当t＝0时，A的坐标为(12，32)，∴此函数为y＝sin(π6t＋π3)，t∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．[答案](1)A(2)D(1)对函数性质理解不透彻，不能有效地利用函数的周期性与奇偶性准确实现函数值的f(3)，f(4)到f(2)，f(1)的过渡，这是失误的主要原因．(2)不能将实际问题抽象成函数问题，是(2)题的一个思维障碍点，也是易误点．排除法将每个选择肢的结论同题干条件相验证，将得出矛盾或不成立的选择肢排除掉的方法称为排除法，在用排除法时，如果不能将不符合要求的选项全部排除掉，可以进一步借直接法求解．
