第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例抓基础明考向提能力教你一招我来演练第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入[备考方向要明了]考什么1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.怎么考1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点．2.以向量为载体考查三角函数及解析几何问题是高考考查的重点．3.多以选择题、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变.一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA�＝a，OB�＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝.0°≤θ≤180°3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.90°a⊥b180°二、平面向量数量积1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝.2．a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．|a||b|·cosθ0|b|cosθ三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝．5．|a·b||a||b|.4．cos〈a，b〉＝.3．a·a＝，|a|＝.2．a⊥b⇒.|a|cos〈a，e〉a·b＝0|a|2a·aa·b|a||b|≤四、数量积的运算律1．交换律a·b＝.3．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．2．分配律(a＋b)·c＝.b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝.a1b1＋a2b22．a⊥b⇔.3．|a|＝.4．cos〈a，b〉＝.a1b1＋a2b2＝0a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b221．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．答案：B2．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12答案：D解析： 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()A．2B.32C．－2D．－32答案：D解析：|b|cosθ＝3cos120°＝－32.4．OA�＝(－1,2)，OB�＝(3，m)，OA�⊥AB�，则实数m＝________.解析： OA�＝(－1,2)，OB�＝(3，m)，∴AB�＝(4，m－2)． OA�⊥AB�，∴－4＋2(m－2)＝0，∴m＝4.答案：45．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案：π31．对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．相关概念及运算的区别(1)若a、b为实数，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a、b、c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a、b、c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a、b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a、b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．[精析考题][例1](2010·广东高考)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3[自主解答]8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝...
