1.5.3定积分的概念一、定积分的定义11()()nniiiibafxfn小矩形面积和S=如果当n∞时,S的无限接近某个常数,这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作baf(x)dx,即f(x)dxf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnba即定积分的定义:定积分的相关名称:———叫做积分号,f(x)——叫做被积函数,f(x)dx—叫做被积表达式,x———叫做积分变量,a———叫做积分下限,b———叫做积分上限,[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnba即Oabxy)(xfybaIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限baf(x)dxbaf(t)dtbaf(u)du。说明:(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的.baf(x)dxbaf(x)dx-(3)(2)定积分的几何意义:Oxyabyf(x)baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时,积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地,当ab时,有baf(x)dx0。当f(x)0时,由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,xyOdxxfSba)]([,dxxfba)(.abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义:积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。Sabyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx三:定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)C性质3不论a,b,c的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。f(x)dxcaf(x)dxf(x)dx。f(x)dxf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。例1:利用定积分的定义,计算的值.130xdx