3．2.2函数模型的应用实例1．几种常见的函数模型(1)一次函数模型(2)二次函数模型(3)指数函数模型(4)对数函数模型(5)幂函数模型．1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．应用函数模型解决问题的基本过程数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？【提示】因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2(0≤x≤400)80000(x>400).其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．【解析】(1)设每月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝－12x2＋300x－20000(0≤x≤400)60000－100x(x>400).(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，有最大值25000；当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400<25000.在函数应用题中，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，二次函数的配方是比较有效的解题手段．1.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)，某公司每月最多生产100件产品，生产x(xN∈＋)件产品的收入函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润为收入与成本之差．(1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？【解析】由题意知，x[1,100]∈，且xN∈＋.(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，x[1,100]∈，xN∈＋，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x，x[1,100]∈，xN∈＋.(2)因为P(x)＝－20x－12522＋74125，所以当x＝62或x＝63时，P(x)max＝74120.又因为MP(x)是减函数，所以当x＝1时，MP(x)max＝2440，故P(x)与MP(x)不具有相等的最大值．某林区1999年木材蓄积量200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？【解析】(1)现有木材蓄积量200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.…经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x. x虽以年为单位，但木材每时每刻均在生长，∴x≥0，且xR.∈∴函数的定义域为[0∞，＋)．x0123…y200210220.5231.5…(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象，如图所示.年份0为1999年(附图)．作直线y=300，与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点，设A(x0,300)，则A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x的值． 8
