高考数学总复习 第5章第2课时等差数列及其前n项和精品课件 文 新人教A版 课件VIP免费

第2课时等差数列及其前n项和考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考第课时等差数列及其前项和温故夯基·面对高考2n温故夯基·面对高考1．等差数列的基本问题(1)定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母____表示，定义的表达式为_____________.(2)通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝_________________.2同一个常数公差dan＋1－an＝da1＋(n－1)d(3)等差中项如果a，A，b成等差数列，那么_____叫做a与b的等差中项且__________.AA＝a＋b2思考感悟A＝a＋b2是a，A，b成等差数列的什么条件？提示：充要条件．A＝a＋b2⇒2A＝a＋b⇒A－a＝b－A⇒a，A，b成等差数列．反之，若a，A，b成等差数列，则A＝a＋b2.故A＝a＋b2是a，A，b成等差数列的充要条件．(4)前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d＝___________.a1＋ann22．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则_________________.特别地：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_____.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．am＋an＝ap＋aqkd考点探究·挑战高考等差数列的判定证明一个数列{an}是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)，二是利用等差中项法，即证明：an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法．考点突破考点突破例例11已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．【思路分析】(1)直接运用定义证明；(2)视an＋1－an为一整体再用定义法即可．【解】(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.故当p＝0时，数列{an}是等差数列．(2)证明： an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．∴{an＋1－an}是等差数列．【方法小结】证明{an}为等差数列除了可以利用定义法及中项法外还可以利用：(1)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列．(2)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝na1＋an2.等差数列的基本运算(1)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．(2)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．(2010年高考山东卷)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.例例22【思路分析】(1)利用公式先求a1和d，再求an和Sn；(2)利用裂项法求{bn}的前n项和Tn.【解】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，因此bn＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝n4n＋1.所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.【误区警示】由bn＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)时，易漏系数14，再者对相消后所剩的项不明确．变式训练已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.(1)求数列{an}的通项an；(2)设bn＝＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.2na解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得a1＋2d＝515a1＋15×142d＝225，解得a1＝1d＝2，∴an＝2n－1.(2)bn＝2na＋2n＝12·4n＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)＝4n＋1－46＋n2＋n＝23·4n＋n2＋n－23.等差数列的性质已知...