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高考数学总复习 第5章第2课时等差数列及其前n项和精品课件 文 新人教A版 课件VIP免费

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第2课时等差数列及其前n项和考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考第课时等差数列及其前项和温故夯基·面对高考2n温故夯基·面对高考1.等差数列的基本问题(1)定义如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的差等于____________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的________,通常用字母____表示,定义的表达式为_____________.(2)通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么通项公式为an=_________________.2同一个常数公差dan+1-an=da1+(n-1)d(3)等差中项如果a,A,b成等差数列,那么_____叫做a与b的等差中项且__________.AA=a+b2思考感悟A=a+b2是a,A,b成等差数列的什么条件?提示:充要条件.A=a+b2⇒2A=a+b⇒A-a=b-A⇒a,A,b成等差数列.反之,若a,A,b成等差数列,则A=a+b2.故A=a+b2是a,A,b成等差数列的充要条件.(4)前n项和公式Sn=na1+nn-12d=___________.a1+ann22.等差数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则_________________.特别地:若m+n=2p,则am+an=2ap.(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为_____.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.am+an=ap+aqkd考点探究·挑战高考等差数列的判定证明一个数列{an}是等差数列的基本方法有两种:一是利用等差数列的定义法,即证明an+1-an=d(n∈N*),二是利用等差中项法,即证明:an+2+an=2an+1(n∈N*).在选择方法时,要根据题目条件的特点,如果能够求出数列的通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.考点突破考点突破例例11已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且p、q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.【思路分析】(1)直接运用定义证明;(2)视an+1-an为一整体再用定义法即可.【解】(1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0.故当p=0时,数列{an}是等差数列.(2)证明: an+1-an=2pn+p+q,∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.∴{an+1-an}是等差数列.【方法小结】证明{an}为等差数列除了可以利用定义法及中项法外还可以利用:(1)通项法:an为n的一次函数⇔{an}为等差数列.(2)前n项和法:Sn=An2+Bn或Sn=na1+an2.等差数列的基本运算(1)等差数列可以由首项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计算和证明,都可围绕a1和d进行.(2)对于等差数列问题一般要给出两个条件,可以通过列方程求出a1,d.如果再给出第三个条件就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题.(2010年高考山东卷)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1a2n-1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.例例22【思路分析】(1)利用公式先求a1和d,再求an和Sn;(2)利用裂项法求{bn}的前n项和Tn.【解】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.由于an=a1+(n-1)d,Sn=na1+an2,所以an=2n+1,Sn=n(n+2).(2)因为an=2n+1,所以a2n-1=4n(n+1),因此bn=14nn+1=14(1n-1n+1).故Tn=b1+b2+…+bn=14(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4n+1.所以数列{bn}的前n项和Tn=n4n+1.【误区警示】由bn=14nn+1=14(1n-1n+1)时,易漏系数14,再者对相消后所剩的项不明确.变式训练已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.(1)求数列{an}的通项an;(2)设bn=+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.2na解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意,得a1+2d=515a1+15×142d=225,解得a1=1d=2,∴an=2n-1.(2)bn=2na+2n=12·4n+2n,∴Tn=b1+b2+…+bn=12(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)=4n+1-46+n2+n=23·4n+n2+n-23.等差数列的性质已知...

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