高考数学总复习 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性质及简单应用课件VIP免费

第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性质及简单应用知识梳理1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φω0π2ππ23π2(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．2πω辨析感悟1．对图象变换的认识(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样．(×)(2)将y＝sin2x的图象向右平移π3个单位，得到y＝sin2x－π3的图象．(×)(3)(2013·湖北卷改编)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是π6.(√)2．对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)性质的认识(4)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(×)(5)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(×)(6)(2014·广州二模改编)若函数y＝cosωx(ω∈N*)的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为3.(√)[感悟·提升]1．图象变换两种途径的区别由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位，如(1)、(2)．2．两个防范一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关，如(4)；而y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期，如(5).考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法与变换【例1】已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．解(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.列表，并描点画出图象：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin2x＋π3020－20(3)法一把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象；最后把y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．法二将y＝sinx的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin2x＋π3的图象．规律方法函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法．(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，...