第2讲空间几何体的表面积和体积1．多面体的侧面积(1)棱柱的侧面积：S直棱柱侧＝___(c表示直棱柱的底面周长，h表示高)．(2)正棱锥的侧面积：chS正棱锥侧＝_____(c表示正棱锥的底面周长，h′表示斜高)．(3)正棱台的侧面积：S正棱台侧＝__________(c′、c分别表示正棱台的上、下底面周长，h′表示斜高)．2．旋转体的侧面积(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧＝____(r表示圆柱底半径，l表示母线长)．(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧＝____(r表示圆锥底半径，l表示母线长)．(3)球的表面积：S球面＝____(R表示球的半径)．12ch′12(c＋c′)h′2πrlπrl4πR2V柱体＝___(S表示柱体的底面积，h表示柱体的高)．(2)锥体的体积：V锥体＝_____(S表示锥体的底面积，h表示锥体的高)．(3)台体的体积：V台体＝__________________(S′、S表示台体的上、下底面积，h表示台体的高)．(4)球体的体积：V球＝_____(R表示球半径)．3．空间几何体的体积(1)柱体的体积：Sh13Sh13h(S＋SS′＋S′)43πR3，则它的外接球的表面积为(4．求几何体体积的常用方法有公式法、分割法、补形法、等积法．1．三棱锥P－ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6,4,3，则三棱锥的体积是()AA．4B．6C．8D．102．设正方体的棱长为)8A.π3B．2πC．4π4D.π3C3．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是.233643π34．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为(结果保留π)．5．如图13－2－1，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为.图13－2－143ππ考点1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积例1：如图13－2－5，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．图13－2－5解题思路：题中没有给出明显的垂直关系，需要作辅助线．解析：方法一：连接A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1H⊥B1D于H， EF∥A1C1，∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离． 平面B1D1D⊥平面B1EDF，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高． △B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝B1O1·DD1B1D＝66a，∴11CBEDFV＝131BEDFS·O1H＝13·12·EF·B1D·O1H＝13·12·2a·3a·66a＝16a3.(1)“割”、“补”也是解决体积问题的常用技巧．(2)当直接求距离或底面积比较难时，可以轮换三棱锥中的顶点，利用三棱锥的等(体)积变换解决点到面的距离．方法二：连接EF，设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝2a，∴11CBEDFV＝11BCEFV＋1DCEFV＝13·1CEFS·(h1＋h2)＝16a3.方法三：VC1－B1EDF＝1111111111EABCDECDDABEDCEDVVV多面体＝16a3.【互动探究】如图13－2－6，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离．图13－2－6解：设点A到平面SBC的距离为h， VS－ABC＝VA－SBC，∴13·SA·S△ABC＝13·h·S△SBC，其中SA＝3a，在△ABC中，AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4a2＋4a2－2×4a2×－12＝23a，S△ABC＝12·AB·BC·sin∠ABC＝12·2a·2a·32＝3a2，在△SAB中，SB＝SA2＋AB2＝13a，BC＝2a，SC＝SA2＋AC2＝21a，cos∠SBC＝13a2＋4a2－21a22·13a·2a＝－113，∴sin∠SBC＝1－113＝23913，∴S△SBC＝12·SB·BC·sin∠SBC＝12·13a·2a·23913＝23a2，由VS－ABC＝VA－SBC得，h＝ABCSBCSASS＝3a·3a223a2＝32a.考点2旋转体的表面积和体积例2：如图13－2－7，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．图13－2－7解析：过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，∴S球＝4πR2，1AOS圆锥侧＝π·32R·3R＝32πR2，1BOS圆锥侧＝π·32R·R＝32πR2.∴S几何体表＝S球＋1AOS圆锥侧＋1BOS圆锥侧＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2.∴旋转所得到的几何体的表面积为11＋32πR2.又V球＝43πR3，1AOV圆锥＝13·AO1·πCO21＝14πR2·AO1，1BOV圆锥＝13BO1·...
