第3课时数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N∈*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，kN∈*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．基础知识梳理上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示就是：基础知识梳理1．数学归纳法适用于证明________类型的命题()A．已知结论⇒B．结论已知⇒C．直接证明比较困难D．与正整数有关答案：D三基能力强化A．1B．2C．3D．0答案：C三基能力强化2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()三基能力强化3．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案：D三基能力强化C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案：2k三基能力强化4．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－11)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.答案：π三基能力强化用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n＝k＋1时命题成立，要从n＝k＋1时待证的目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可．同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用“k＋1”替换恒等式中的所有“n”．课堂互动讲练考点一用数学归纳法证明恒等式课堂互动讲练例例11用数学归纳法证明对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n－1)(n＋1)4.【思路点拨】证明等式是数学归纳法的应用之一，证明时，较为困难的是第二步，首先要弄清等式两边的构成规律，然后证明当n＝1时命题成立，再证如果n＝k时命题成立，那么n＝k＋1时命题也成立．课堂互动讲练课堂互动讲练【证明】(1)当n＝1时，左式＝12－1＝0，右式＝12(1－1)(1＋1)4＝0，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k－1)(k＋1)4.那么[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)课堂互动讲练＝k2(k－1)(k＋1)4＋(2k＋1)k(k＋1)2＝14k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]∴当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)知，对任意nN∈*等式成立．课堂互动讲练＝14k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2[(k＋1)－1][(k＋1)＋1]4，【误区警示】当n＝k＋1时易错写成(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]．整除问题是常见数学问题，除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法．也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k时的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．课堂互动讲练考点二用数学归纳法证明整除课堂互动讲练例例22已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(nN∈*)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除．【思路点拨】用数学归纳法能证明整除问题，在由k过渡到k＋1时常用“配凑”的办法，要有目的地去“配凑”36的倍数式子和假设n＝k时的式子．课堂互动讲练【证明】(1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除．(2)假设n＝k(kN∈*)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．课堂互动讲练【名师点评】用数学归纳法证明整除问题的关键是“配凑”．采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出归纳假设和倍数式子，从而由部分的整除性得出整体...
