浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用 在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想．在高中数学中，数形结合是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中，在处理边角关系的问题中也有较多的应用．在解决集合问题、方程及不等式问题中，如果能注意数形结合的思想的应用，能使许多数学问题简单化．下面举一些例子作详细说明： 一、数形结合思想在解决集合问题中的应用． 1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如： 例 1、有 48 名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的 8 人，同时参加数化小组的 6 人，同时参加理化小组的 7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆 A、B、C 分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用 n 表示集合的元素，则有： 即：∴，即同时参加数理化小组的有 1 人． 例 2、设，已知 求 分析：如图，用长方形表示全集 I，用圆分别表示集合 A 和 B，用 n 表示集合的元素，则有：从韦恩图我们可以直观地看出：． 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题． 例 3、设 求 分析:分别先确定集合 A，B 的元素，，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： (公共部分) (整个数轴都被覆盖) (除去重合部分剩下的区域) (除去覆盖部分剩下的区域) 例 4、已知集合 ⑴ 若，求 的范围.⑵ 若，求 的范围． 分析：先在数轴上表示出集合 A 的范围，要使，由包含于的关系可知集合 B 应该1C （化）A （数）B （理）IA∩B3,5,72AB1,94,6,8。·－ 4－２０ １ ２４３ 。·。a３ a。－１3①覆盖集合 A，从而有:,这时 的值不可能存在．要使，这时集合应该覆盖集合 B,应有成立．可解得为所求 的范围．二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题．1、利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集． 例 5、解不等式． 分析：我们可先联想对应的二次函数的图像草图．从解得知该抛物线与 轴交点横坐标为-2，3，当 取交点两侧的值时,即时，．即．故可得不等式.的解集为：....
