利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小VIP专享VIP免费

第 1 页直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容. 要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。一、 1 个公式公式12coscoscosqqq=中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m所在所成的角，1q 是指 l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与 m 所成的角 . 其中210cos1,.qqq<<<由此可得最小角定理 . 二、 2 个定义1. 线面角 ：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）. 如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角. 直线和平面所成的角的取值范围为[0 ,90 ]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0 ,90 )鞍. 2. 二面角 ：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面 . 一个平面垂直于二面角lab--的棱 l ，且与两个半平面的交线分别是射线OAOB、， O为垂足，则AOBD叫做二面角lab--的平面角 . 它决定着二面角的大小. 其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. 二面角的取值范围为[0 ,180 ]鞍. 三、 3 个定理1. 最小角定理 ：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角. 2. 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 3. 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面. 四、 4 类求法1. 几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、 射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳. 2. 向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底 ( 要求作为基底的三个向量的模及夹角已知) 的题目 . (1) 平 面 向 量 法 ： 在 斜 线 上 取 向 量 a 和 其 射 影 上 取 向 量'a ( 注 意 方 向 ， 夹 角 为 锐 角 ) ， 则|' |c o s,'|||' |a aa aaa×<> =×，这里 a 、'a 形式上在同一个平面内；(2) 法 向 量 法...