§3 数 列 [考情解读] 近几年高考中的数列问题，难度有所降低，以考查数列的概念，等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法为主，有时也考查内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性问题，在解题过程中常用到等价转化、分类讨论、函数与方程等思想方法． 常考的题型为：(1)有关数列的基本问题，这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质． (2)数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点． 解决这类问题应注意： (1)研究数列，关键是要抓住数列的通项，探求一个数列的通项常用观察法、公式法、归纳猜想法. (2)关于数列的求和，常用方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项法． (3)关于等差(比)数列，要抓住首项和公差(比)这两个基本元素． (4)数列是特殊的函数，所以数列问题与函数、方程、不等式有着密切的联系，函数思想、方程观点、化归转化、归纳猜想、分类讨论在解题中多有体现． 分类突破 热点一 由数列的前 n 项和 Sn 与通项 an的关系求通项 an 例 1 已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任 意的 n∈N*，满足关系式 2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的通项公式是 bn＝1log3an·log3an＋1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有 Tn<1. [规范解答示例] (1)解 ①当 n＝1 时，由 2Sn＝3an－3 得，2a1＝3a1－3， ∴a1＝3. 2 分 ②当 n≥2 时，由 2Sn＝3an－3 得， 2Sn－1＝3an－1－3. 两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即 2an＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1，又 a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.5 分 验证：当 n＝1 时，a1＝3 也适合 an＝3n. ∴{an}的通项公式为 an＝3n. 6 分 (2)证明 bn＝1log3an·log3an＋1＝1log33n·log33n＋1 ＝1(n＋1)n＝1n－1n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1) ＝1－1n＋1<1. 12 分 构建答题模板 第一步：令 n＝1，由 Sn＝f(an)求出 a1. 第二步：令 n≥2，构造 an＝Sn－Sn－1，用 an代换 Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1 代换 an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项． 第三步：验证当 n＝1 时的结...
