第三节 平面向量的数量积及平面微量应用举例 一、两个向量的夹角1
定义 已知两个 向量 a 和 b ，作 = b ，则 ∠AOB ＝ θ 叫做向量 a 与 b 的夹角
非零=a,2
范围 向量夹角 θ 的范围是 ， a 与 b同向时，夹角 θ ＝ ； a 与 b 反向时，夹角 θ ＝
向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 ，则 a 与 b 垂直，记作
0°≤θ≤180° 0° 180°90°a⊥b二、平面向量数量积的意义1
a ， b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ ，则数 |a|·|b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b ，即 a·b ＝
规定 0·a ＝ 0
当 a⊥b 时， θ ＝ 90° ，这时 a·b ＝
a·b 的几何意义 a·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的
投影 |b|cosθ 的乘积|a|·|b|·cosθb 在 a 上的投影是向量吗
提示：不是， b 在 a 上的投影是一个数量 |b|cosθ ，它可以为正，可以为负，也可以为 0
三、向量数量积的性质1
如果 e 是单位向量，则 a·e ＝ e·a ＝
a⊥b⇒ 且 a·b ＝0 ⇒
a·a ＝ ， |a| ＝|a|cos 〈 a ， e 〉|a|2a⊥b4
cos 〈 a ， b 〉＝
|a·b| |a||b|
≤a·b ＝02
分配律 (a ＋ b)·c ＝
四、数量积的运算律1
交换律 a·b ＝
b·a a·c ＋ b·c(λa)·b a·(λb)3
对 λ∈R ， λ(a·b) ＝ ＝
数量积的运算满足结合律吗
提示：数量积的运算不满足结合律，即 (a·b)c ＝a(b·c) 不成立
这是由于 (a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b·c) 表示一个与 a 共线的
