第三节 平面向量的数量积及平面微量应用举例 一、两个向量的夹角1. 定义 已知两个 向量 a 和 b ，作 = b ，则 ∠AOB ＝ θ 叫做向量 a 与 b 的夹角 .非零=a,2. 范围 向量夹角 θ 的范围是 ， a 与 b同向时，夹角 θ ＝ ； a 与 b 反向时，夹角 θ ＝ .3. 向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 ，则 a 与 b 垂直，记作 . 0°≤θ≤180° 0° 180°90°a⊥b二、平面向量数量积的意义1.a ， b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ ，则数 |a|·|b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b ，即 a·b ＝ . 规定 0·a ＝ 0. 当 a⊥b 时， θ ＝ 90° ，这时 a·b ＝ . 02.a·b 的几何意义 a·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的 .投影 |b|cosθ 的乘积|a|·|b|·cosθb 在 a 上的投影是向量吗？提示：不是， b 在 a 上的投影是一个数量 |b|cosθ ，它可以为正，可以为负，也可以为 0.三、向量数量积的性质1. 如果 e 是单位向量，则 a·e ＝ e·a ＝ .2.a⊥b⇒ 且 a·b ＝0 ⇒ .3.a·a ＝ ， |a| ＝|a|cos 〈 a ， e 〉|a|2a⊥b4.cos 〈 a ， b 〉＝ .5.|a·b| |a||b|.≤a·b ＝02. 分配律 (a ＋ b)·c ＝ .四、数量积的运算律1. 交换律 a·b ＝ .b·a a·c ＋ b·c(λa)·b a·(λb)3. 对 λ∈R ， λ(a·b) ＝ ＝ .数量积的运算满足结合律吗？提示：数量积的运算不满足结合律，即 (a·b)c ＝a(b·c) 不成立 . 这是由于 (a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b·c) 表示一个与 a 共线的向量，因此 (a·b)c 与 a(b·c) 一般是不相等的 .3.|a|＝ .五、数量积的坐标运算 设 a ＝ (a1 ， a2) ， b ＝ (b1 ， b2) ，则1.a·b ＝ . a1b1 ＋ a2b2 2.a⊥b⇔ .a1b1 ＋ a2b2 ＝ 04.cos 〈 a ， b 〉＝ .1. 已知向量 a ＝ (2,1) ， a·b ＝ 10 ， |a ＋ b| ＝ 5 ，则 |b| ＝ ( ) A. B. C.5 D.25解析： |a ＋ b|2 ＝ a2 ＋ 2a·b ＋ b2 ＝ 5 ＋ 20 ＋ b2 ＝ 50 ，∴b2 ＝ 25 ，∴ |b| ＝ 5.答案： C22. 已知 |a| ＝ 1 ， |b| ＝ 6 ， a·(b － a) ＝ 2 ，则向量 a 与 b的夹角是 ( )解析： a·(b － a) ＝ a·b － a2 ＝ 2 ，∴ a·b ＝ 2 ＋ a...
