第 27 讲 平面向量的概念及运算【学习目标】 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义． 3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【基础检测】 1．设 e1，e2 是两个不共线的向量，且 a＝e1＋λe2与 b＝－13e2－e1 共线，则实数 λ＝( ) A．－1 B．3 C．－13 D.13 D 【解析】 a＝e1＋λe2 与 b＝－13e2－e1 共线，∴存在实数 t，使得 b＝ta，即－13e2－e1＝t(e1＋λe2)，－13e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－13，即λ＝13，故选 D. 2．在四边形 ABCD 中，AB→ ＝a＋2b，BC→ ＝－4a－b，CD→ ＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是( ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 C 【解析】由已知AD→ ＝AB→ ＋BC→ ＋CD→ ＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→ . ∴AD→ ∥BC→ ，|AD→ |＝2|BC→ |，∴四边形 ABCD 是梯形． 3．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD→ ＝2DB→ ，CD→ ＝13CA→ ＋λCB→ ，则 λ＝________． 23 【解析】 CD→ ＝CB→ ＋BD→ ＝CB→ －DB→ ＝CB→ －13AB→ ＝CB→ －13 (CB→ －CA→ )＝13CA→ ＋23CB→ ，∴λ＝23. 4 ．给出以下命题：①对于实数 p 和向量 a ， b ，恒有 p(a － b) ＝ pa － pb ；②对于实数 p ， q 和向量 a，恒有 (p － q)a ＝ pa － qa ；③若 pa ＝ pb(p∈R) ，则 a ＝ b ，④若 pa ＝ qa(p ， q∈R, a≠0) ，则 p ＝ q.其中正确命题的序号为 ________ ．①②④【解析】根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知①②④正确；③不一定成立，因为当 p ＝ 0时， pa ＝ pb ＝ 0 ，而不一定有 a ＝ b.【知识要点】 1．向量的有关概念 (1)向量：___________________________叫向量，一般用 a，b，c，…来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：AB→ .向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB→ |. (2)零向量：_____________________的向量，记作 0，其方向是任意的，我们规定：零向量和任何向量平行． (3)单位向量：________________单位长度的向量． (4)相等向量：长度相等且_______________的向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为 a＝b；长度相等且...
