第五十九讲导数的应用回归课本 1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，如果 f′(x)＞0，则 f(x)为增函数；如果 f′(x)＜0，则 f(x)为减函数． (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，如 果 f(x) 在 该 区 间 上 单 调 递 增 ( 或 递 减 ) ， 则 在 该 区 间 内f′(x)>0(f′(x)<0)． 注意：当 f′(x) 在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正( 或负 ) 时， f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增 ( 或递减 ) 的，例如：在 ( －∞，＋∞ ) 上， f(x) ＝ x3，当 x ＝ 0 时， f′(x) ＝ 0 ，当 x≠0 时， f′(x) ＞ 0 ，而 f(x) ＝ x3，显然在 ( －∞，＋∞ ) 上是单调递增函数． 2 ．函数极值的定义 设函数 f(x) 在点 x0 及其附近有定义，如果对 x0 附近的所有点，都有 f(x) ＜ f(x0) ，我们说 f(x0) 是函数 f(x) 的一个极大值，记作 y 极大值＝ f(x0) ；如果对 x0 附近的所有点，都有 f(x) ＞ f(x0) ，就说 f(x0)是 f(x) 的一个极小值，记作 y 极小值＝ f(x0) ．极大值与极小值统称为极值． 3 ．判别 f(x0) 是极值的方法 一般地，当函数 f(x) 在点 x0处连续时 (1) 如果在 x0 附近的左侧 f′(x) ＞ 0 ，右侧 f′(x) ＜ 0 ，那么 f(x0)是极大值． (2) 如果在 x0 附近的左侧 f′(x) ＜ 0 ，右侧 f′(x) ＞ 0 ，那么 f(x0)是极小值． 4 ．函数的最大值与最小值 在闭区间 [a ， b] 上连续的函数 f(x) 在 [a ， b] 上必有最大值与最小值，但在开区间 (a ， b) 内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值，例如 f(x) ＝ x ， x∈( － 1,1) ．考点陪练 1.函数 y＝－23x3＋a＋1a x2－2x＋2012(a<－1)的递减区间为( ) A.－∞，1a ，(a，＋∞) B．(－∞，a)，1a，＋∞ C.a，1a D.1a，a 答案： B解析：y′＝－2x2＋2a＋1a x－2，令 y′<0，即 －2x2＋2a＋1a x－2<0⇔ x2－a＋1a x＋1>0， 由 a<－1，知 a<1a， ∴不等式 x2－a＋1a x＋1>0 的解集为(－∞，a)∪1a，＋∞ .∴函数 y＝－23x3＋a＋1a x2－2x＋2012(a<－1)的递减区...
