第 2 节 函数的单调性、奇偶性、周期性 基础梳理考点突破知识整合 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量 x1,x2 定 义 当x1f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 基础梳理 抓主干 固双基 (2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(或 1212f xf xxx>0)与函数 f(x)在区间 D 上是增函数是等价的,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0(或 1212f xf xxx<0)与函数 f(x)在区间 D 上是减函数是等价的. (3)单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 质疑探究 1:如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数,能不能说这个函数在定义域上是增(减)函数? 提示:不能.如 f(x)= 1x及 f(x)=tan x. 质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如:函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1)和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞). 2.函数的奇偶性 奇函数 偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 定 义 都有 f(-x)=-f(x) 都有 f(-x)=f(x) 图象 特征 关于原点对称 关于 y 轴对称 质疑探究 3:奇函数 f(x)的图象一定过点(0,0)吗? 提示:只有当 f(x)在 x=0 处有定义时,f(x)过 (0,0)点. 质疑探究 4:奇偶函数在对称区间内单调性有何 关系? 提示:奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性. 3.函数的周期性 (1)周期函数 T 为函数 f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0;②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意 x 都成立. (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. (3)拓展 ①如果 T 是函数 f(x)的周期,则 nT(n∈Z,n≠0)都是它的周期. ②T 是函数 f(x)的周期⇔ f(x+2T )=f(x-2T ) (T≠0). 双基自测 1.(2013 年高考山东卷)...
