计算空间角，其一般方法是根据定义通过作辅助线或辅助面构造出要求的角 θ ，并作出含有角 θ 的三角形，从而通过解三角形得角 θ 的值，其步骤是：“一作、二证、三计算”．[例1] 如图，四棱锥P－ABCD的底面是 正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当PD＝ 2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小． [ 思路点拨 ] (1) 要证平面 AEC⊥ 平面 PBD ，只需证 AC⊥ 平面 PBD ； (2) 由 (1)AC⊥ 平面 PBD ，因此 AE 与平面PDB 所成角即可得．另外还可以使用向量法求解．[ 自主解答 ] 法一：以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－ xyz.设 AB ＝ a ， PD ＝ h ，则A(a,0,0) ， B(a ， a,0) ， C(0 ， a,0) ， D(0,0,0) ， P(0,0 ，h) ．(1)证明： AC�＝(－a，a,0)， DP�＝(0,0，h)， DB�＝(a，a,0)， ∴ AC�·DP�＝0， AC�·DB�＝0， ∴AC⊥DP，AC⊥BD， DP∩BD＝D， ∴AC⊥平面PDB. AC⊂ 面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB. (2)当 PD＝ 2AB 且 E 为 PB 的中点时，P(0,0， 2a)， E(12a，12a， 22 a)， 设 AC∩BD＝O， 则 O(12a，12a,0)，连结 OE， 由(1)知 AC⊥平面 PDB 于点 O， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角， EA�＝(12a，－12a，－ 22 a)， EO�＝(0,0，－ 22 a)， ∴cos∠AEO＝EA� ·EO�| EA� || EO�|＝ 22 ， ∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角为45°. 法二： (1) 证明： 四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD ， PD⊥ 底面 ABCD ，∴PD⊥AC.又 PD∩BD ＝ D ，∴ AC⊥ 平面 PDB ， AC⊂ 面 AEC ，∴平面 AEC⊥ 平面 PDB.(2)设AC∩BD＝O，连结OE. 由(1)知AC⊥平面PDB于点O. ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角， O，E分别为DB，PB的中点， ∴OE∥PD，OE＝12PD， 又 PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，OE＝12PD＝ 22 AB＝AO， ∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角为45°. [ 例 2] 如图，在长方体ABCD － A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是棱 BC ，CC1 上的点， CF ＝ AB ＝ 2CE ， AB∶ AD∶ AA1＝ 1∶ 2∶ 4.(1) 求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值；(2) 证明 AF⊥ 平面 A1ED ；(3) 求二面角 A1 － ED － F 的正弦值．[思路点拨] 建立空间直角坐标系，写出相关...
