•第四节 基本不等式及其应用•点 击 考 纲•1. 了解基本不等式的证明过程.•2. 会用基本不等式解决简单的最大 ( 小 ) 值的问题 . •关 注 热 点•1. 主要考查不等式的应用和不等式的证明.•2. 对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现,难度为中低档题,若出现证明题难度也不会太大 . •1 .基本不等式2.几个重要的不等式 几个重要的不等式 1a2+b2≥2aba,b∈R2ab≤a+b2 2a,b∈R3a2+b22≥a+b2 2a,b∈R4ba+ab≥2a,b同号且不为零 •3 .算术平均数与几何平均数•设 a>0 , b>0 ,则 a , b 的算术平均数为 ,几何平均数为,基本不等式可叙述为 :两个正数的 不小于其 .a+b2 ab 算术平均数几何平均数•4 .利用基本不等式求最值问题•已知 x>0 , y>0 ,则:•(1) 如果积 xy 是定值 P ,那么当且仅当 时, x + y 有 值是 2( 简记:积定和最小 ) .•(2) 如果和 x + y 是定值 P ,那么当且仅当 时, xy 有值是 ( 简记:和定积最大 ) .x = y最小x = y最大•1 .在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面?•提示:利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正、二定、三相等”.“一正”即公式中 a 、 b 必须是正数,“二定”即必须有定值( 和为定值或积为定值 ) ,“三相等”即公式中的等号必须成立,必要时要合理拆分项或配凑因式,以满足上述三个条件.•2 .如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义?提示:①当 a=b 时,a+b2 ≥ ab取等号, 即 a=b⇒ a+b2 = ab. ②仅当 a=b 时,a+b2 ≥ ab取等号, 即a+b2 = ab⇒ a=b. 1.已知ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是( ) A.ba+ab≥2 B.ba+ab≥-2 C.ba+ab≤-2 D.|ba+ab|≥2 解析:选项 A、B、C 中不能保证ba、ab为正. •答案: D2.已知f(x)=x+1x-2(x>0),则f(x)有( ) A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为2 D.最小值为2 解析: x>0,∴f(x)=x+1x-2≥2 x·1x-2=0, 当且仅当x=1x,即x=1时,“=”成立. •答案: B3.下列函数中,y的最小值为4的是( ) A.y=x+4x B.y=2x2+3x2+2 (x∈R) C.y=ex+4e-x D.y=sinx+ 4sinx(0