立足教育 开创未来1第 讲5 函数的奇偶性、周期性 （第二课时） 函数的奇偶性、周期性 （第二课时）第二章 函数立足教育 开创未来2 题型四：函数周期性的定义题型四：函数周期性的定义1. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足f(x+2)+f(x)=0 ，则 f(x) 的周期是 ( )A. 1 B. 2C. 4 D. 6立足教育 开创未来3 由已知， f(x+2)=-f(x) ，所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ，显然， f(x) 的周期为 4 ，选 C.点评：由本题可知，若定义域为 R 的函数f(x) 满足： f(x+a)=-f(x)(a>0) ，则 f(x) 是周期为 2a 的周期函数 . 相应地还有：若 或 则 f(x) 是周期为2a 的周期函数 .答案： C1()( )f xaf x1()( )f xaf x立足教育 开创未来4已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足：对任意实数 x 都有 f(x+2)+f(x)=0 ，且当 x∈ ［ 0 ， 1 ］时， f(x)=3x ，则 的值为 ( )A. 1 B. -1C. D. 13 13()f 473立足教育 开创未来5 由已知 f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ，所以 f(x) 是周期为 4 的周期函数 .又 f(x) 为奇函数，所以故选 B.()()1ffff474711633313立足教育 开创未来6题型五：抽象函数奇偶性、周期性的判定题型五：抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明与证明2. 定义在 R 上的函数 f(x) 满足：f(x)=f(4-x) 且 f(2-x)+f(x-2)=0.(1) 证明：这个函数既是奇函数，又是周期函数；(2) 若 f(-3)=1 ，求 f(2011) 的值 .立足教育 开创未来7 (1) 证明：因为 f(2-x)+f(x-2)=0 ，令 t=x-2 代入，有 f(-t)+f(t)=0 ，所以 f(x) 为奇函数 .所以 f(4-x)=-f(x-4) ，即有 f(x)=-f(x-4) ，所以 f(x+8)=-f(x+4)=f(x) ，故 f(x) 是周期为 8 的周期函数 .(2)f(2011)=f(251×8+3)=f(3)=-f(-3)=-1.立足教育 开创未来8点评：处理抽象函数的奇偶性和周期性的关键是对其抽象性质进行变形、配凑，如本题中观察到 2-x 与 x-2 是互为相反数，则可判断其奇偶性，然后利用奇偶性将 f(4-x)变换为 -f(x-4).立足教育 开创未来9已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=a (a≠0 ，为常数 ) 对称，证明： f(x) 是周期函数 .立足教育 开创未来10 证明：由已知 f(-x)=-f(x) ， 且 f(a+x)=f(a-x) ，所以 f(2a+x)=f ［ a+(a+x) ］ =f ［ a-(a+x)...
