导数的综合运用 题型一 导数与函数图象例 1 (2015·潍坊模拟)已知 f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)，f′(x)为 f(x)的导函数，则 y＝f′(x)的图象大致是( ) 【解析】 因为 f(x)＝14x2＋cosx，所以 f′(x)＝12x－sinx，f′(x)为奇函数，排除 B，D，令 g(x)＝12x－sinx，则 g′(x)＝12－cosx，当 00，f′(x)单调递增，当5π3 ln2 － 1 且 x>0 时， ex>x2－ 2ax ＋ 1.•【思路】 (1) 令 f′(x) ＝ 0 ，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性．•(2) 构造函数 g(x) ＝ ex－ x2＋ 2ax － 1(x∈R) ，注意到 g(0) ＝ 0 ，只需证明 g(x) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数，可利用导数求解．题型二 导数与不等式•【解析】 (1) 由 f(x) ＝ ex－ 2x ＋ 2a ， x∈R ，得 f′(x) ＝ ex－ 2 ，x∈R. 令 f′(x) ＝ 0 ，得 x ＝ ln2.•于是当 x 变化时， f′(x) ， f(x) 的变化情况如下表：x( －∞， ln2)ln2(ln2 ，＋∞ )f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1 － ln2 ＋ a)单调递增•故 f(x) 的单调递减区间是 ( －∞， ln2) ，单调递增区间是 (ln2 ，＋∞ ) ．•f(x) 在 x ＝ ln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2) ＝ eln2 － 2ln2 ＋ 2a ＝2(1 － ln2 ＋ a) ．• (2) 设 g(x) ＝ ex－ x2＋ 2ax － 1 ， x∈R. 于是 g′(x) ＝ ex－ 2x ＋ 2a ， x∈R.• 由 (1) 知当 a>ln2 － 1 ...
