第二节 平面向量的基本定理及其坐标表示 一、平面向量基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理 定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个 向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ， 一对实数 λ1 ， λ2 ， 使 a ＝ 其中， 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底 . 不共线有且只有λ1e1 ＋ λ2e2 不共线的向量 e1 ， e2 2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正 交分解 .互相垂直3. 平面向量的坐标表示 (1) 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两 个单位向量 i ， j 作为基底 . 对于平面内的一个向量 a ，有且只 有一对实数 x ， y 使 a ＝ xi ＋ yj ，把有序数对 叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝ ，其中 叫做 a 在 x轴上的坐标， 叫 做 a 在 y 轴上的坐标 . (2) 设 ＝ xi ＋ yj ，则 就是终点 A 的坐标，即若 ＝ (x ， y) ，则 A 点坐标为 ，反之 亦成立 (O 是坐标原点 ). (x ， y)(x ， y)x y向量 的坐标 (x ， y) (x ， y)1. 向量的坐标与点的坐标有何不同？提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向量 的坐标与点 A 的坐标相同 .二、平面向量的坐标运算1. 加法、减法、数乘运算向量aba ＋ ba － bλa坐标(x1 ， y1)(x2 ， y2)(x1 ＋ x2 ，y1 ＋ y2)(λx1 ， λy1)(x1 － x2 ，y1 － y2)2. 向量坐标的求法 已知 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，则 ＝ ，即一 个向量的坐标等于 .该向量终点的坐标减去始点的坐标(x2 － x1 ， y2 －y1)3. 平面向量共线的坐标表示 设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 其中 b≠0 ，则 a 与 b 共线⇔ a ＝ ⇔ .x1y2 － x2y1 ＝ 0λb2. 若 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，则 a∥ b 的充要条件能表示成 吗？提示：若 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，则 a∥ b 的充要条件不能表示成 ，因为 x2 ，y2 有可能等于 0 ，所以应表示为 x1y2 － x2y1 ＝ 0. 同时， a∥ b 的充要条件也不能错记为： x1x2 － y1y2 ＝0 ， x1y1 － x2y2 ＝ 0 等 .1. 已知平面向量 a ＝ (x,1) ， b ＝ ( － x ， x2) ，则向量 ...
