第 3 讲 直线与圆锥曲线 【高考真题感悟】 (2011·湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1与轨迹 C 相交于点 A，B，l2与轨迹 C 相交于点 D，E，求AD→·EB→的最小值. 解 (1)设动点 P 的坐标为(x，y)，由题意有(x－1)2＋y2－|x|＝1.化简得 y2＝2x＋2|x|. 当 x≥0 时，y2＝4x；当 x<0 时，y＝0. 所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝4x (x≥0)和 y＝0 (x<0). (2)由题意知，直线 l1的斜率存在且不为 0，设为 k，则 l1的方程为 y＝k(x－1). 由 y＝k(x－1)，y2＝4x得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2是上述方程的两个实根， 于是 x1＋x2＝2＋ 4k2，x1x2＝1. 因为 l1⊥l2，所以 l2的斜率为－1k.设 D(x3，y3)，E(x4，y4)， 则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. 故AD→·EB→＝(AF→＋FD→)·(EF→＋FB→) ＝AF→·EF→＋AF→·FB→＋FD→·EF→＋FD→·FB→ ＝|AF→|·|FB→|＋|FD→|·|EF→| ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 ＝1＋2＋ 4k2 ＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝8＋4k2＋ 1k2 ≥8＋4×2k2·1k2＝16. 当且仅当 k2＝ 1k2，即 k＝±1 时，AD→·EB→取最小值 16. 考题分析 本题考查了求轨迹方程的基本方法，直线与圆锥曲线的位置关系，体现了分类讨论的思想和数形结合的思想，考查了考生分析问题和运算求解的能力. 易错提醒 (1)在求轨迹方程时，易漏掉 y＝0 (x<0)的情况.(2)不能将AD→·EB→进行合理转化，使之与 A、B、C、D的坐标联系起来.(3)选择方法不当、计算错误. 主干知识梳理 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若 Δ>0，则直线与椭圆相交；若 Δ＝0，则直线与椭圆相切；若 Δ<0，则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去 y(或 x)，得到一个一元方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0). ①若 a≠0，当 Δ>0 时，直线与双曲线相交；当 Δ＝0 时，直线与双曲线相切；当 Δ<0 时，直线与双曲线相离. ②若 a＝0 时，直线与渐近线平行，...
