1第九章直线、平面、简单几何体 2 1. 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AB=2 ， BC=a ，又侧棱 PA⊥ 底面ABCD. (1) 当 a 为何值时， BD⊥ 平面 PAC? 试证明你的结论； (2) 当 a=4 时，求证： BC 边上存在一点M ，使得 PMDM⊥；题型 4 垂直中的探索题第二课时 3 (3) 若在 BC 边上至少存在一点 M ，使 PMDM⊥，求 a 的取值范围 .解： (1) 当 a=2 时，四边形 ABCD 为正方形，则 BDAC⊥.又因为 PA⊥ 底面 ABCD ， BD平面ABCD ，所以 BD⊥PA,所以 BD⊥ 平面 PAC.故当 a=2 时， BD⊥ 平面 PAC. 4 (2) 证明：当 a=4 时，取 BC 边的中点M ， AD 边的中点 N ，连结AM 、 DM 、 MN, 因为四边形 ABMN 和四边形DCMN 都是正方形，所以∠ AMD =AMN+ DMN∠∠ =45°+45°=90° ，即DM⊥AM. 又 PA⊥ 底面 ABCD ，由三垂线定理得 PMDM⊥. 故当 a=4 时， BC 边的中点 M 使PMDM⊥. 5 (3) 设 M 是 BC 边上符合题设的点 M ， 因为 PA⊥ 底面 ABCD ，所以DM⊥AM, 因此， M 点应是以 AD 为直径的圆和 BC 边的一个公共点，则 AD≥2AB ，即 a≥4 为所求 . 6 点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识 . 因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用 .事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的 . 探究空间的垂直 ( 或平行 ) 的条件是近几年高考立体几何中一类常见探索性题 . 此类题是垂直 ( 或平行 ) 问题中的逆向问题，可利用垂直 ( 或平行 ) 的性质逆推得出结论成立的一个条件 . 7 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB⊥AD ，AC⊥CD ，∠ AB C =60° ， PA=AB=BC ， E是线段 PC 上的一点 .(1) 证明： CD⊥AE ；(2) 当 E 在 PC 什么位置时PD⊥ 平面 ABE ？拓展练习拓展练习 8 解： (1) 证明：在四棱锥 P-ABCD 中，因为 PA⊥ 底面 ABCD ， CD 平面 ABCD ，故 PA⊥CD. 因为 AC⊥CD ，PA∩AC=A ，所以 CD⊥ 平面 PAC. 而 AE 平面 PAC ，所以 CD⊥AE. (2) 当Ｅ为 PC 的中点时，有 PD⊥ 平面 ABE. 证明如下：由PA=AB=BC ，∠ ABC=60° ，可得 AC=PA.因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC. 9 由 (1) 知， AECD⊥，且 PC∩CD =C ，所以 AE⊥ 平面 PCD. 而 PD...
