1第九章直线、平面、简单几何体 2 1
在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AB=2 ， BC=a ，又侧棱 PA⊥ 底面ABCD
(1) 当 a 为何值时， BD⊥ 平面 PAC
试证明你的结论； (2) 当 a=4 时，求证： BC 边上存在一点M ，使得 PMDM⊥；题型 4 垂直中的探索题第二课时 3 (3) 若在 BC 边上至少存在一点 M ，使 PMDM⊥，求 a 的取值范围
解： (1) 当 a=2 时，四边形 ABCD 为正方形，则 BDAC⊥
又因为 PA⊥ 底面 ABCD ， BD平面ABCD ，所以 BD⊥PA,所以 BD⊥ 平面 PAC
故当 a=2 时， BD⊥ 平面 PAC
4 (2) 证明：当 a=4 时，取 BC 边的中点M ， AD 边的中点 N ，连结AM 、 DM 、 MN, 因为四边形 ABMN 和四边形DCMN 都是正方形，所以∠ AMD =AMN+ DMN∠∠ =45°+45°=90° ，即DM⊥AM
又 PA⊥ 底面 ABCD ，由三垂线定理得 PMDM⊥
故当 a=4 时， BC 边的中点 M 使PMDM⊥
5 (3) 设 M 是 BC 边上符合题设的点 M ， 因为 PA⊥ 底面 ABCD ，所以DM⊥AM, 因此， M 点应是以 AD 为直径的圆和 BC 边的一个公共点，则 AD≥2AB ，即 a≥4 为所求
6 点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识
因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用
事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的
探究空间的垂直 ( 或平行 ) 的条件是近几年高考立体几何中一类常见探索性题
此类题是垂直 ( 或平行 ) 问题中的逆向问题，可利用垂直 ( 或平行 ) 的性质逆推得出结论成立的一个条件
