第 六 节指数与指数函数 考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题． 知识梳理 1．指数幂的概念 (1)根式 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N ＋)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根．也就是，若 xn＝a，则 x 叫做 ，其中 n>1 且 n∈N ＋.式子na叫做 ，这里 n 叫做 ，a 叫做 a 的 n 次方根 根式 根指数 被开方数． (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 次方根用符号 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 (a> 0)． n a n a －n a ±n a ③(na )n＝ . ④当 n 为奇数时，nan＝ ； 当 n 为偶数时，nan＝|a|＝ . ⑤负数没有偶次方根． ⑥零的任何次方根都是零． a a a a≥0－a a<0 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是 a mn ＝ (a> 0，m，n∈N ＋，n>1)． n am ②正数的负分数指数幂是 a－ mn ＝ ＝ (a>0，m，n∈N ＋，n>1)． ③0 的正分数指数幂是 ,0 的负分数指数幂无意义． 1a mn 1n am 0 (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ (a>0，r，s∈Q )． ②(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q )． ③(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q )． ar ＋ s ars arbr 3．指数函数的图像与性质 a > 1 0 < a < 1 图像 定义域 值域 (－∞，＋∞) (0 ，＋∞ ) a>1 0< a<1 (1 )过定点 (2 )当 x>0 时， ；x<0时， (2 )当 x>0 时， ；x<0 时， 性质 (3 )在(－∞，＋∞)上是 (3 )在(－∞，＋∞)上是 (0,1) y>1 01 增函数 减函数 基 础 自 测 [ 答案 ] B [ 解析 ] (理)若 a＝(2＋ 3)－1，b＝(2－ 3 )－1，则(a＋1)...
